難関私立大医学部入試問題－解答編－

難関私立大入試問題

難関私立大医学部の問題の解答を書いておきます。私立大医学の場合は、全てが記述式のところはそれほど多くはありませんが、難関私立大医学部では、論理的な答案を書くことも要求されます。日ごろから、マーク法だけでなく、記述式で答案を書く演習をしたらいいと思います。問題等のリンクは次です。難関私立大学医学部入試問題

難関私立大入試問題の解答

【問題1】

自然数\(n,m\)は、\(２≦ｍ＜ｎ\)を満たすとします。
(1)　次の不等式が成り立つことを証明してください。
\((n+1－m)/m(ｎ+1）＜1/ｍ^2+1/(m+1)^2+･･･+1/ｎ^2\)
＜\((n+1-m)/n (m-1)\)
(2)　次の不等式を証明してください。
\(3/2≦\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)≦2\)
(3)　(2)の不等式をより厳密にした次の不等式が成り立つことを証明してください。
\(29/18≦\displaystyle\lim_{ n \to \infty }(1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)
≦61/36\)
（日本医科大学）

【解答1】

類題は、時々見かけます。

(1)\(y=1/x^2\)の関数で、定積分と\(x軸\)の長方形の面積の和を考えると、
\(\displaystyle\lim_{m\to n+1}1/ｘ^2＝(n+1-m)/m(n+1)\)
\(\displaystyle\lim_{m-1\to ｎ}1/ｘ^2＝(n+1-m)/ｎ(ｍ-1)\)
よって、\((n+1－m)/m(ｎ+1）＜1/ｍ^2+1/(m+1)^2+･･･+1/ｎ^2\)
＜\((n+1-m)/n (m-1)\)････････①　です。

(2)　①で\(ｍ＝2\)を代入して、1を加えると、
\(1+(n-1)/2(n+1)＜1+1/2^2+1/3^2+･･･+1/ｎ^2\)＜1+(n-1)n\)です。
ここで、\(ｎ→∞\)とすれば、
\(3/2≦\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)≦2\)

(3)①に\(m=4\)を代入して、\(1+1/2^2+1/3^2\)を加えると、
\(49/36+(n-3)/4(n+1)＜1+1/2^2+1/3^2+･･･+1/ｎ^2\)＜49/36+(n-3)3n\)\(ｎ→∞\)として、\(29/18≦\displaystyle\lim_{ n \to \infty }(1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2) ≦61/36\)

(注）この問題は、オイラーが示したいわゆるバーゼル問題\(ζ(2)＝\lim_{ n \to \infty }(1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)＝π^2/6\)　に題材を得ています。偶数値の\(ζ\)値は分かっていて,\(ζ(4)＝π^4/90、････\)などとなりますが、奇数値の\(ζ(2n+1)\)は余り詳しくは分かっていません。\(ζ(3)\)が無理数である事を無名のアペリーが証明したのも最近のことです。少しずつではありますが、奇数値のゼータ値もわかってきてはいます。

【問題２】

次の問いに答えてください。
(1)　２つの\(x\)の1次関数\(y=ax+b、y=cx+d\)があるとき、この2つが直交する
必要十分条件を求めてください。
(2)　放物線\(y=x^2\)の上の2点\(Ｏ(－1,1)、A(a,a^2)\)に対して、この放物線上
のもう1つの点\(B(b,b^2)\)で、\(∠OBA\)が直角になるものが存在する\(a\)
の条件を求めてください。
(3)放物線\(y=x^2\)の上の\(2点Ｏ(－1,1)、A(a,a^2)\)に対して、この放物線上
のもう1つの点\(B(b,b^2)\)をとり、\(∠OBA\)が直角３角形を作ることを考えま
す。直角3角形が、４つできる\(a\)の条件を求めてください。
(順天堂大学医学部）

【解答２】

(1) ２つの1次関数が直交するから、傾きの積が\(－1\)です。よって、\(ac＝－1\)
(2)　題意から、\(∠OAB\)が直角になる条件は、\(B≠O\)かつ\(A≠B\)かつ傾きの積
が、\(－1\)になることです。よって、\(ｂ≠-1、ｂ≠a、(ｂ-1)（b+a)＝-1\)
\(b=a\)ではないから、\(ｂ≠-1かつｂ^2+(a-1)ｂ-a+1＝0\)･･････①
よって、①が相異なる2実解をもつか、\(b≠-1\)以外の重解をもつことですか
ら、求める条件は、\(ａ≦－3、1≦ａ\)
(3) \(∠OAB、∠AOB\)が直角になる条件を(2)と同様に求めます。これは、
\(a≠-1かつ(a-1)(a+b)＝-1\)････②　\(ａ≠-1かつ(a-1)(b-1)＝-1\)････③
②、③を満たす\(b\)は2個以上はありませんから、直角三角形が4つできるために
は、①が\(-1\)以外の２実解を持つことが必要です。これから、\(a＜-3、1<a、
a≠3/2\)　逆にこれが成り立ては、題意はなりたちます。

【問題3】

\(θ\)は、\(0≦θ≦π\)を満たす実数とします.\(xyz\)空間の平面\(z=0\)の上に、
２点\(P_θ(cosθ、sinθ、0),Q_θ(2cosθ、2sinθ、0)\)をとり、\(0≦θ≦π\)の範囲で動かすとき、線分\(P_θQ_θ\)が通過する部分を \(Dとします。空間内 z≧0\) の部分について、底面が\(D\)、\(P_θQ_θ\)上の各点での高さが\(２/π･θ\)の立体 \(K\) を考えます。半球\(B:x^2+y^2+z^2≦2^2,ｚ≧0\)と\(K\)との共通部分を\(L\)とするとき、次の問いに答えてください。
(1)　\(B\)を平面\(z=t　(0≦ｔ<2)\)で切った切り口の円の半径を\(t\)を用いてあら
わしてください。
(2)　\(L\)の体積を求めてください。
（東京慈恵会医科大学）

【解答3】

(1)　\(B\)の\(z=t\)の部分は、\(ｘ^2+ｙ^2≠\sqrt{4-ｔ^2}\)となりますから、
半径は、\(\sqrt{4-ｔ^2}\)　です。
(2)  \(K\)を\(z=t\)できると、\(πｔ/2≦θ≦π\)の部分になります。\((0,0,t)\)からの
距離\(ｒ\)である\(\sqrt{4-ｔ^2}＜1\)すなわち\(ｔ＞\sqrt{3}\)のときは、
\(φ\)となるから、\(ｔ≦\sqrt{3}\)のとき、\(1≦ｒ≦\sqrt{4-ｔ^2}\)です。
よって、\(L\)の体積は、\(π/4･\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}(6-3t-
2t^2+ｔ^3）dt＝(\sqrt{3}－9/16)π\)