難関私立大医学部の問題－昭和大医学部－

難関私立大医学部

私立の難関大医学部の1つとして、昭和大学の医学部の入試問題をやってみましょう。基本的に昭和大学医学部の入試問題は、記述式なのですが、8割は答えのみを書かせる問題になっています。記述式の答案を書かせる問題は1問程度に過ぎません。

さらに、問題量が多い割りに、時間が割合少ない設定となっていますから、スピーディーな解答力、計算力が必要とされます。
今回は、実際に出題された難関受験数学として、昭和大医学部の入試問題の演習をやって見ましょう。

昭和大学医学部の入試問題（70分）

難関大医学部の昭和大医学部の受験では、英語と数学で140分になっています。
これだけのものを、70分でやり、７割程度の得点を取らなければならないのですから
相当の経験と計算力が必要だと思われます。
なお今回の問題は、旧課程の行列（小問の１つ）は省略してあります。

【問題１】

次の各問に答えてください。答えは結果のみを解答欄に記入してください。

(1)\(0≦ｘ＜2π\)のとき、次の不等式を解いてください。
\(4sin^2ｘ+(2－2\sqrt{2})cosｘ+\sqrt{2}－4≧0\)

(2)\({ａ_n}(ｎ≧1)\)は、初項３、公差4の等差数列\({b_m}(ｍ≧1)\)は、初項1000、公差\(－5\)の等差数列とします。

(2-1）２つの等差数列の共通項の個数を求めてください。
(2-2)　2つの等差数列の共通項の総和を求めてください。

(3)　３人がじゃんけんをして、１人だけ勝者を決めます。３人は、グーチョキ、
パーを同じ確率で出すとします。勝者がいない場合は、再びじゃんけんをするも
のとします。勝者が２人の場合は、その２人でじゃんけんをし、勝者がいない時
は再びその２人でじゃんけんをします。

(3-1)　2回のじゃんけんしても勝者がいない確率を求めてください。
(3-2)　2回のじゃんけんしても勝者が１人に決まらない確率を求めてください。
(3-3)　\(ｎ\)は正の整数とします。\(n\)回のじゃんけんを続けても勝者が決まらな
い確率をもとめてください。

【問題２】

1辺の長さが１の正三角形\(OAB\)があります。辺\(AB\)上に\(AM=2/3\)となる
点\(M\)をとります。また、\(OA\)上に\(OP=p　（0＜ｐ＜1）\)となる点\(P\)
をとり、線分\(OMとBP\)の交点を\(Q\)とします。
\(\overrightarrow{OA}＝\vec{ a },\overrightarrow{OB}＝\vec{ｂ}\)　とします。

(1)\(\overrightarrow{OQ}を\vec{ a },\vec{ｂ},ｐ\)であらわしてください。

(2)\(\overrightarrow{PQ}を\vec{ a },\vec{ｂ},ｐ\)であらわしてください。

(3)三角形\(OPQ\)が二等辺三角形であるような\(p\)の値を求めてください。

【問題３】

次の各問に答えてください。答は結果のみを解答欄に記入してください。

(1)正の数\(a,b\)が\(ａ^3＋ｂ^3＝5\)を満たすとき、\(a+b\)のとりうる値の
範囲を求めてください。

(2)\(ｘ＞0、ｘ≠1\)のとき、
\(1+1/\log_{2} x－1/log_{3} x＜0\)　を満たす範囲を求めてください。

(3)点\(P\)が楕円\(ｘ^2+5(y-1)^2＝5\)上を動くとき、線分\(OP\)の長さの
最大値を求めてください。

【問題４】

次の各問に答えてください。答えは解答のみ解答欄に記入してください。

(1)２つの曲線
\(ｙ＝1/\sqrt{3}･ｘ(x-\sqrt{3}),　ｘ＝1/\sqrt{3}･ｘ(x-\sqrt{3}\)
があります。
(1-1)この２つの曲線の交点を求めてください。

(1-2)この2つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めてください。

(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ａ\sqrt{２ｘ^2+ｘ+1}－bx)＝2\)
が成り立つような実数\(a,b\)の値を求めてください。

(3)\(ｘ≧0\)のとき、\(ｘ\)の関数

\(f(x)＝\displaystyle \int_{0}^{ｘ} ３^t(３^t－4)(x－ｔ)dx\)

の最小値を与える\(ｘ\)の値を求めてください。