難関大数学問題演習

2019年国立大学合格発表

国立大学前期の合格発表が始まっているようです。３月10日の東京大学、京都大学の合格発表で一段落します。後期試験もある国立大学もありますが、東京大学、京都大学、大阪大学などはは後期試験を実施していません。ここでは、東京大学、京都大学の数ⅠA,ⅡBの範囲の入試問題の演習をやってみましょう。もう来年2020年の入試は始まっています。

難関大入試問題

【問題１】

定数 \(p\) に対して、３次方程式　\(x^3－3x－p=0\)　の実数解のうち最大のものと最小のものとの積を　\(f(p)\)　とします。ただし、実数解がただ１つのときは、その2乗を　\(f(p)\)とします。\(p\)　が全ての実数を動くとき、\(f(p)\)　の最小値を求めてください。
（東大）

【問題2】

\(f(x)\)　は\(x\)　の3次式で、\(f(x)\)　をその導関数　\(f'(x)\)　で割ったときの余りは定数であるとします。このとき、\(f(x)=0\)　を満たす実数解はただ１つであることを示してください。
（京大）

【問題3】

\(k\)　は　\(k>0\)の実数とします。\(xy\)平面上の2つの曲線　\(y=k(x－x^3)、x=k(ｙ－y^3）\)　の交点　\((α、β)\)　をもち　\(α≠β\)とします。交点　\((α、β)\)　が第一象限にあるときの　\(k\)　の範囲を求めてください。
（東大）

【問題4】

\(△ABC\)　の周上の2点　\(P,Q\)　を結ぶ線分　\(PQ\)　で三角形を2等分するものとします。このような線分　\(PQ\)　の長さの最小値を求めてください。\(BC,CA,AB\)の長さをそれぞれ　\(a,b,c\)　とし、\(a>b>c\)　とします。
（東大）