難関大数学の基本－ⅠA、ⅡBの確認一橋大学－

数学ⅠA、ⅡBの確認

理系数学では、数ⅠA、ⅡB、Ⅲが試験範囲であり、数Ⅲ重視の出題がされますが、数ⅠA,ⅡBの項目も出題されます。これらは、かなり難しくなる傾向があります。ここでは、数ⅠA,ⅡBの問題の整理をしておきましょう。

数ⅠA、ⅡBの問題（一橋大学）

【問題1】

$k$を正の整数とします。$5n^2－2kn+1<0$を満たす$n$がちょうど１つあるような$k$を求めてください。

【問題2】

3次方程式$x^3+ax^2+bx+ｃ＝0$は相異なる3つの解$p,q,r$をもつとし、さらに$2p^2－1，2q－1，2r－1$も同じ方程式の相異なる3つの解であるとします。$a,b,c,p,q,r$の組を求めてください。

【問題3】

$a$を正の実数とします。点$(x,y)$が、不等式$x^2≦y≦x$の領域を動くとき、常に$1/2≦(x-a)^2+y≦2$となるとします。このとき、$a$の値の範囲を求めてください。

【問題4】

正4面体$OABC$の1辺の長さを$1$とします。辺$OA$を$2:1$に内分する点を$P$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$Q$とし、$0<t<1$を満たす$t$に対して、$OC$を$t:1-t$にない分する点を$R$とします。
（１）$PQ$の長さを求めてください。
（２）$△PQR$の面積が最小になるときの$t$の値を求めてください。

【問題5】

$n$を$3$以上の整数とします。$2n$枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数が$6$、白いカードの枚数は、$2n－6$とします。これらの$2n$枚のカードを無作為に、箱$A$と箱$B$に入れるものとします。このとき、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど$k$枚入っている確率を$p_k$とします。
（１）$p_2$を$n$で表し、$p_2$を最大にする$n$を求めてください。
（２）$p_1+p_2<p_0+p_3$を満たす$n$を求めてください。