難関大後期試験－東工大－

難関大後期試験－東工大－

難関大の後期試験は、倍率が高くなりますし、時間も十分とられる場合が多く、結構難問が出題されることがあります。史上最高の難問と言われているのも東京大学の後期試験でした。ここでは、東工大の後期試験をとりあげてみましょう。

東工大後期の問題

【問題1】

【1】実数\(a_1,a_2，x_1，x_2，y_1,y_2\)が次の条件を満たしているとします。
\(0<a_1<a_2\)
\(a_1x_1≦a_1y_1+a_2y_2\)
\(a_1x_1+a_2x_2≦a_1y_1+a_2y_2\)

このとき、\(x_1+x_2≦y_1+y_2\)　であることを証明してください。

【2】\(n\)を\(2\)以上の自然数とし、\(3n\)個の実数\(a_1,a_2,･･････；x_1,x_2，･･････，x_n；y_1，y_2，･･････，y_n\)が、
\(0<a_1≦a_2≦･････････≦a_n\)
および\(n\)個の不等式　\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ nj} a_ix_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j} a_iy_i\)　　\((j=1,2,････n)\)
を満たしているとき、

\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } y_i\)となることを証明してください。

【問題2】

自然数\(n\)のとき、\(I_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\vert sinnπx \vert dx\)　とおきます。

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n\)を求めてください。