難関大学の2次曲線の問題－解答編－
難関大学の2次曲線の問題
2次曲線は、現在は数Ⅲの範囲になっています。代表的な2次曲線であるだ円、双曲線、放物線の標準形の理解は基本的です。幾何学的な定義から、2次曲線のの標準形が導出できるようにしておくと、基本的な問題の出題にも問題なく対応できるでしょう。これらの2次曲線は、ともに円錐曲線です。つまり、円錐をある平面で切ったときの切り口がだ円、双曲線、放物線となります。これらの理解も大切です。また、2次曲線は、極座標を使うと、統一的に扱うこともできますし、幾何学的な問題でも有効な場合があります。離心率も含めた曲座標での2次曲線の理解も十分しておいてください。問題は次のリンクです。難関大学の2次曲線
2次曲線の問題の解答
【問題1】
α、β実数とします。xに関する実数係数の２次式f(x)＝ax^2+bx+c が a+b+c＝0 の関係式を満たすとき、座標(f(α)，f(β))の点はどのような集合になるのか求めてください。(東京大学)
【解答1】
c=－(a+b)だから、x=f(α)＝(α－1)(aα+a+b)、y=f(β)＝(β－1)(aβ+a+b) ですから、
ⅰ）α≠β，α≠1，β≠1のとき、a≠0だから、上式からbを消去すると、
(β－1)x－(α－1)y＝a(α－1)(β－1)(α－β)≠0･･･････①
ⅱ）α≠βかつα=1またはβ=1のときは
x=0またはyは全実数 か xは全実数またはy=0となります。
ⅲ) α＝β≠1のときは、x=y
ⅳ）α＝β＝1のときは、x=0,y=0
直線①は、aがa≠0の全ての実数をとるとき、
直線(β－1)x－(α－1)y＝0 ････････② を除く全ての点を通ります。
よって、(f(α)，f(β))の集合は、全平面から②を除き、原点を含めた平面となります。
(注）東京大学のもとの問題では、係数a,b,cが実数であることが書かれていません。複素数も含めたものでは、条件が不足します。ここでは、問題文を修正して、係数が実数であることを条件としています。
【問題2】
点(x,y)と点(u,v)の間に、u＝2x/(1+xy)，v＝(1－xy)/(1+xy)の関係があるとします。
0<x<yを満たすとき、(u,v)はどのような領域にあるか求めてください。（早稲田大学）
【解答2】
0<x<yのとき、与えられた式を、x,yについて解くと
x=u/(1+v)，y=(1-v)/vとなりますから、
0<u/(1+v)<(1-v)/v
よって、u(1-v)>0かつu^2<1－v^2⇔u^2+v^2<1
従って、求める(u,v)は、中心原点で、半径1の円内のu>0の半円の内部です。境界は含みません。
【問題3】
（１）だ円外の１点Pからだ円に引いた２つの接線の接点を、A,Bとします。Fをだ円の１つの焦点とすると、PFは∠AFBを２等分することを証明してください。
（２）双曲線の一方の側の曲線上の1点における接線が、双曲線と交わる点を、A,Bとします。焦点の１つを、Fとすると、∠AFBは、一定であることを証明してください。
【解答3】
直交座標でも解くことができますが、円錐曲線の幾何学的な性質は、極座標を用いるとうまく解くことができる場合があります。離心率を用いた円錐曲線の極形式の理解は、重要だと思います。
（１）だ円を極座標表示して、ｒ＝l/(1－ecosθ) l>0とし、だ円外の点P(r，θ) 0≦θ≦πとします。(π≦θ≦2πのときも、対象移動することにより、同様にできます。）Pからだ円に引いた接線の接点を、A,Bとし、その偏角を、α、βとします。A,Bにおけるだ円の接線を求めると、
l/r＝cos(θ－α)－ecosθ･･････････①
l/r＝cos(θ－β)－ecosθ･･････････②
Pの偏角は、①、②をともに満たすから、
cos(θ－α）－cos(θ－β)＝0となります。
よって、2sin(θ－(α+β)/2)sin((β－α)/2＝0
sin(β-α)/2≠0ですから、sin(θ－(α+β)/2)＝0となります。
0≦α、β、θ≦πですから、
θ＝(α+β)/2 これは、FPが、∠AFBの2等分線であることを示しています。
（２）双曲線x^2/a^2－y^2/b^2＝1の焦点F(ae,0)、F'(-ae,0)のうち、F’を極とし、F’Fを始線とする極座標を考えると、
双曲線の極方程式は、r＝l/(1－ecosθ)、l＝a(1－e^2)となります。F’から、2つの双曲線の漸近線に下ろした垂線の偏角をα，－α，長さをpとすると、その極方程式は、p＝rcos(θ±α)････････①
点Pの偏角をβとすると、
l/r＝cos（θ－β)－ecosθ･･････････②
①、②から、
lcos(θ±α)＝pcos(θ－β)－epcosθ･････････③
③を満たすθ (0<\vert θ\vert<π)を、それぞれθ_1，θ_2とすると、これらはA,Bの偏角ですから、③から、
tanθ_1＝(lcosα－pcosβ+ep)/(psinβ+lsinα)
tanθ_2＝(lcosα－pcosβ+ep)/(psinβ－lsinα)
よって、tan(θ_1－θ_2)＝－2Alsinα/((p^2sin^2β－＋l^2sin^2α)+A^2)･･････④
ここで、A=lcosα－pcosβ+epです。
p=aecosα， l＝a(1－e^2)＝－b^2/a^2で、 tanα＝a/bだから、④式は、
tan(θ_1－θ_2)＝b^2/a^2･tanα＝b/a＝一定となり、題意は示されました。
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