難関大学の2次曲線に関する問題

2次曲線に関する難関大学の問題

2次曲線は、数Ⅲで学びますが、扱う数学は、数ⅡBまでの数学です。（以前は、2次曲線、複素平面も、数ⅡBで扱っていました。）2次曲線は円の他に、だ円、双曲線、放物線が重要です。幾何学的な定義とともに、座標平面上での標準形の理解は基礎的です。きちんと理解してください。また、極座標表示での各2次曲線の理解も重要です。幾何学的な問題の解法では、極形式を使うと解法が早いことがよくあります。離心率も含め整理しておいてください。2次曲線については、以下のリンクでも扱っていますので、参考にしてください。2次曲線の問題

2次曲線の問題

【問題1】

\(α、β\)実数とします。\(x\)の実数係数の２次式\(f(x)＝ax^2+bx+c\)が\(a+b+c＝0\)の関係式を満たすとき、座標\((f(α)，f(β))\)の点はどのような集合になるのか求めてください。(東京大学)

【問題2】

点\((x,y)\)と点\((u,v)\)の間に、\(u＝2x/(1+xy)，v＝(1－xy)/(1+xy)\)の関係があるとします。
\(0<x<y\)を満たすとき、\((u,v)\)はどのような領域にあるか求めてください。（早稲田大学）

【問題3】

（１）だ円外の１点\(P\)からだ円に引いた２つの接線の接点を、\(A,B\)とします。\(F\)をだ円の１つの焦点とすると、\(PF\)は\(∠AFB\)を２等分することを証明してください。

（２）双曲線の一方の側の曲線上の1点における接線が、双曲線と交わる点を、\(A,B\)とします。焦点の１つを、\(F\)とすると、\(∠AFB\)は、一定であることを証明してください。

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