難関大学の2次曲線に関する問題

2次曲線に関する難関大学の問題

2次曲線は、数Ⅲで学びますが、扱う数学は、数ⅡBまでの数学です。（以前は、2次曲線、複素平面も、数ⅡBで扱っていました。）2次曲線は円の他に、だ円、双曲線、放物線が重要です。幾何学的な定義とともに、座標平面上での標準形の理解は基礎的です。きちんと理解してください。また、極座標表示での各2次曲線の理解も重要です。幾何学的な問題の解法では、極形式を使うと解法が早いことがよくあります。離心率も含め整理しておいてください。2次曲線については、以下のリンクでも扱っていますので、参考にしてください。2次曲線の問題

2次曲線の問題

【問題1】

$α、β$実数とします。$x$の実数係数の２次式$f(x)＝ax^2+bx+c$が$a+b+c＝0$の関係式を満たすとき、座標$(f(α)，f(β))$の点はどのような集合になるのか求めてください。(東京大学)

【問題2】

点$(x,y)$と点$(u,v)$の間に、$u＝2x/(1+xy)，v＝(1－xy)/(1+xy)$の関係があるとします。
$0<x<y$を満たすとき、$(u,v)$はどのような領域にあるか求めてください。（早稲田大学）

【問題3】

（１）だ円外の１点$P$からだ円に引いた２つの接線の接点を、$A,B$とします。$F$をだ円の１つの焦点とすると、$PF$は$∠AFB$を２等分することを証明してください。

（２）双曲線の一方の側の曲線上の1点における接線が、双曲線と交わる点を、$A,B$とします。焦点の１つを、$F$とすると、$∠AFB$は、一定であることを証明してください。

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