難関大学の複素平面の問題
複素平面(ガウス平面)の取り扱い方
複素平面は、2次元座標やベクトルの成分表示と同類だと思います。2次元の位置の情報を1つの複素数で表すことができるのは、位置ベクトルの考え方と同じです。やや苦手にしている人もいるようですが、マスターすべきことはそれ程多くはありません。複素平面では、幾何学的取り扱い、極形式、ド・モアブルの定理の理解が重要だと思います。ここでは、少し面倒な問題、複素数にどう結び付けるかの問題演習をやってみましょう。複素平面に関連するリンクは次です。複素平面
複素平面の問題
【問題1】
相異なる3つの複素数があります。これらのうちから、重複を許してとったどの2つの積も、これらの3数のどれかにあたるとします。3数の組を求めてください。(東京工大)
【問題2】
\(a,b\)は実数の定数とし、\(a<b\)とします。このとき、\(t>0\)の実数とするとき、\(z\)に関する2次方程式
\(1/t・(z-a)^2+t(z-b)^2=0\) は虚数解をもつとします。それらを、\(x+iy,x-iy\)とし、\(x,y\)は実数、\(y>0\)とするとき、複素平面状の\(P(x,y)\)はどのような図形を描くか求めてください。(東京大学)
【問題3】
\(a,b,c,θ\)を次数と詩、\(z\)を複素数とします。
(1)\((1-z^c)(1+z^c+z^{2c}+・・・・・・・・・・・+z^{mc})\)を求めてください。
(2)次の式(\(n\)項の和)を求めてください。
\(cosθ+a^2cos3θ+a^4cos5θ+・・・・・・・・・・+a^{2n-2}cos(2n-1)θ\)
(和歌山県立医科大学)
【問題4】
\(p,q\)を相異なる正の整数とするとき、\(x\)に関する2つの2次方程式
\(x^{p-1}+x^{p-2}+・・・・・・+x+1=0、x^{q-1}+x^{q-2}+・・・・・・+x+1=0\)
が共通の解を持つとします。このとき、\(p\)と\(q\)は公約数を持つことを証明してください。