難関大入試問題－整数の問題－

整数に関する難関大入試問題

難関大の整数に関する問題は、数ⅠA，数ⅡBの範囲ですので、文系の問題としても割合、出題されています。整数論や素数論には未解決の難問が多くありますが、そのような難問が出題される訳ではありません。応用力や発想力が試される場合がありますので、十分な演習が必要だと思われます。

整数の問題

【問題１】

\(n^2－ｎ[\log_{a} n]^2+８＝0\)を満たす整数があるとします。実数\(a\)の値の範囲を求めてください。 [ ] はガウス記号です。（九州工大）

【問題2】

正の整数\(n\)に対して、１と自分自身も含めた全ての約数の和を\(S(n)\)とします。
（1）\(k\)を正の整数とし、\(p\)を3以上の素数とするとき、\(S(2^kp)\)を求めてく
ださい。
(2)　\(S(2016)\)を求めてください。
(3)　\(2016\)の正の約数\(nで、S(n)＝2016\)となるものを全て求めてください。
（名古屋大学）

【問題3】

\(n\)を4以上の自然数とします。ここに書かれた数が全て\(n\)進法で表されているも
のとし、\(２^{12}＝1331\)が成り立っています。この時の\(n\)を10進法で求めて
ください。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（京都大学）

【問題4】

\(n\)を2以上の自然数とします。\(n\)が素数でなく、かつ４でもないとき、
\((n－1)！は、n\)で割り切れることを示してください。（東工大）