難関大入試問題演習－解答編－

難関国立大入試問題（理系）

偏差値の高い国立大理系の入試問題に関する説明をしました。医学部では、７割以上の得点でないとなかなか合格は難しいと思います。センター試験は、2020年にはなくなる方向ですが、難関校は、センター試験の配点が圧縮され、２次試験重視の傾向があります。センター試験は、９割以上の得点が必要です。解説と問題は、次のリンクにあります。難関国立大入試問題（理系）

難関国立大入試問題の解答（１５０分）京都大学

【問題１】
次の各問いに答えてください。

(1)ａが正の実数のとき、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}\)　を求めてください。

(2)次の定積分を求めてください。

\(\displaystyle \int_{ 1 }^{ \sqrt{3}} log(\sqrt{1+ｘ^2} dx\)

【解答１】

(1)ⅰ)\(0＜ａ＜1\)のとき、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ^n＝０\)ですから、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}＝１\)

ⅱ)ａ＝1のとき、現式＝１

ⅲ)ａ＞1のとき
\(ａ＝\sqrt[1/n]{ａ^{n}}\ ≦  \sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}\)･････①
また、\(\sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}＝ａ^{1+1/n}\)から、\(ａ^n＝1/(α－1)\)　よって、\(\sqrt[1/n]{1+ａ^{n}}＜ａ^{1+1/n}\)･･･････②
とすることができます。①、②より、ｎ→∞のとき、ともにａに収束しますから、答えはａです。

【問題２】

正４面体\(OABC\)において、点　\(P,Q,R\)をそれぞれ\(OA、OB, OC\)　上にとります。
ただし、\(P,Q,R\)は正４面体\(OABC\)の頂点とは異なるとします。
\(△PQR\)が、正三角形ならば、３辺\(PQ,QR,RP\)はそれぞれ３辺 \(AB, BC、CA\)に平行である事を証明してください。

【解答２】

\(△ＯＰＱ，△ＯＱＲ\)に余弦定理を使うと、
\(PQ^2＝OP^2＋OQ^2－2･OP･OQ･cos60°\)･･･････①
\(QR^2＝OR^2＋OQ^2－2OR･OQ･cos60°\)･･･････②

\(△PQRは正三角形だから、PQ=QR\)　が成り立ちます。よって、①、②から、
\(OP^2－OP･OQ＝OR^2－OR･OQ\)　従って、\((OP－OR)(OP＋OR－OQ)＝0\)
\(OP＋OR＞OQ より 、OP＋OR－OQ≠0\)から、
\(OP=OR\)　となります。

\(△OACにおいて、OA：OC＝OP：OR＝1：1 から、 PR//AC となります。\)
同様にして、PQ //AB,　GQ//BC　がいえます。

【問題３】

実数ｘ、ｙが条件\(ｘ^2+ｘｙ+ｙ^2＝６\)を満たしながら動くとき、
\(ｘ^2ｙ+ｘｙ^2－ｘ^2－2ｘｙ－ｙ^2+ｘ+ｙ\)　がとり得る値の範囲を求めてください。

【解答３】
\(ｘ^2+ｘｙ+ｙ^2＝(x+y)^2－xy＝６\)･･･････①　となります。
すなわち、\(ｘｙ＝(x+y)^2－6\)です。
\(P=ｘ^2ｙ+ｘｙ^2－ｘ^2－2ｘｙ－ｙ^2+ｘ+ｙ＝xy(x+y)－(x+y)^2+(x+y)\)･････②
ですから、ここで、\(ｘ+ｙ＝ｋ\)とおけば、①、②から、与えられたP式は、
\(Ｐ＝(x+y)^3－(x+y)^2－5(x+y)＝ｋ^3－ｋ^2－5ｋ\)となります。

また、①から、ｙを消去すれば、\(ｘ^2－ｋｘ+ｋ^2－6＝０\)です。ｘは実数ですから、この判別式をDとすれば、\(D＝ｋ^2－4（ｋ^2－6）≧0\)から、
\(－2\sqrt{2}≦ｋ≦2\sqrt{2}\)････････③

従って、\(P=f(k)＝ｋ^3－ｋ^2－5ｋ\)　の③でのとりうる範囲を求めればいいことになります。

\(ｆ'(k)＝3ｋ^2－2ｋ^2－5＝(3k-5)(ｋ+1)\)より、\(ｆ’(k)＝0の解は、ｋ＝5/3、-1\)　となります。増減表を書き、③の範囲で\(P=f(k)\)のとりうる範囲を求めると、\(－6\sqrt{2}－8≦P≦３\)　となりますから、

\(－6\sqrt{2}－8≦ｘ^2ｙ+ｘｙ^2－ｘ^2－2ｘｙ－ｙ^2+ｘ+ｙ≦３\)となります。

【問題４】

(1)　\(\sqrt[3]{2}\) が無理数である事を証明してください。
(2)　\(P(x)\)は、有理数を係数とするｘの多項式で、\(P(\sqrt[3]{2})＝０\)を満たしているとします。\(P(x)は、ｘ^3－２\)で割り切れることを証明してください。

【解答４】

(1)背理法で容易に示せます。

\(\sqrt[3]{2}\) が無理数でないとすると、\(\sqrt[3]{2}＝ｐ/ｑ\)（p,qは互いに素）とかけます。
これより。\(２ｑ^3＝ｐ^3\)で、p,qは互いに素ですから、ｐは２の倍数になりますから、\(ｐ^3\)は８の倍数となります。従って、\(q^3\)は４の倍数となりますから、ｑも２の倍数です。これは、p,qが互いに素である事に反します。従って、
\(\sqrt[3]{2}\) が無理数です。

(2)　\(Ｐ(x)を、ｘ^3－２\)で割ったときの商を\(Q(x)\)、余りを\(ａｘ^2+ｂｘ+ｃ\)とおきます。ここで、\(ａ、ｂ、c\)は有理数です。

\(P(x)＝(ｘ^3－２)Q(x)+ａｘ^2+ｂｘ+ｃ\)････････①　とかけます。
\(p(\sqrt[3]{2}))＝０\)より、
①から、\(ａ(\sqrt[3]{2})^2+ｂ\sqrt[3]{2})+ｃ＝０\)　となります。

ここで、\(ｐ＝\sqrt[3]{2}\)とおくと、
\(ａｐ^2+ｂｐ+ｃ＝0\)　･･･････②　となり、②にｐをかけると
\(２ａ+ｂｐ^2+ｃｐ＝0\)･･････③　となります。

②、③から、\((ｂ^2－ac)p－2ａ^2+ｂｃ＝０\)
従って、\(ｂ^2－ac≠０\)なら、\(ｐ＝(２ａ^2－ｂｃ）/(b^2－ac)\)となり、これは有理数ですから、矛盾します。
また、\(ｂ^2＝ａｃ\)のときは、\(2ａ^2＝ａｃ\)です。\(ａ≠０\)なら、
\(ｃ＝ｂ^2/ａ\)から、\(2＝(ｂ/ａ)^3\)から、\(\sqrt[3]{2}＝b/a\)となり、
これは、矛盾です。従って、\(ａ＝0、また、ｂ＝0、ｃ＝0\)　となりますから、
題意は成り立ちます。（QED.)

【問題５】

次の命題　\(ｐ、ｑ\)が正しいかどうか答えてください。正しければそれを証明し、正しくなければ、反例を挙げてください。

(p) 正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の１つが60°である三角形を作ることができれば、ｎは３の倍数である。

(q) \(△ABCと△ABD\)において、\(AC<ADかつBC<BD\)ならば、\(∠C＞∠D\)である。

【解答５】

論証のしにくい問題だと思います。

(p)　正3ｋ 角形では、ある頂点からｋ－１個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこからｋ－１個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば正三角形になるので、内角の１つが６０°である三角形を作ることができます。

逆に、正n角形のn個の頂点から3点を選んで三角形を作るとき、内角の1つが６０°になるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周の1/3になる、ということです。

nが3の倍数でないとき、正n角形の隣接2頂点を頂点とする円弧のうちの小さい方の弧の長さは円周の1/nです。kを自然数として、k/n=1/3 とすると、n=3ｋでｎが3の倍数となって矛盾するので、円周の1/ｎをｋ個集めても円周の1/3になることはありません。

従って、正ｎ角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周の1/3にはなり得ないので、内角の1つが60°である正三角形はできません。
よって、命題ｐは正しいことになります。

(ｑ)△ABCと△ABDとで共有する辺ABを弦にもつ円を考えると、∠Ｃ，∠Ｄは、弦ＡＢの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ＡＢの上に立つ円周角は小さくなります。

【問題６】

さいころをｎ回投げて出た目を順に\(X_1,X_2,･･･････,X_n\) とします。さらに、

\(Y_1=X_1, Y_k=X_k+1/(Y_{k-1})\) \(k=2,3,･･･････n)\)
によって、\(Y_1,Y_2,･････････,Y_n\) を定めます。

\((1+\sqrt{3})/2≦Y_n≦１+\sqrt{3}\) となる確率　\(p_n\)を求めてください。

【解答６】
\(Ｙ_n≧１\)が示せます。\(1/(1+\sqrt{3})=(\sqrt{3}+1)/2\) となりますから、

ⅰ)　\(1≦Y_ｎ≦(1+\sqrt{3})/2\) のとき、\(X_ｎ+1+\sqrt{3}－≦Y_{n+1}≦X_{n+1}＋１\)ですから、\(X_{n+1}＝１のとき、(1+\sqrt{3})/2≦Y_{n+1}≦1+\sqrt{3}\) となり、\(X_{n+1}≧２\)のとき、\(Y_{n+1}＞\sqrt{3}+1\)

ⅱ)\((1+\sqrt{3})≦Y_ｎ≦1+\sqrt{3}\) のとき、\(X_{n+1}+(\sqrt{3}-1)/2≦Y_{n+1}≦X_{n+1}+\sqrt{3}－１\)ですから、\(Xｎ＝1、2　\)で、\(1+\sqrt{3})/2≦Y_{n+1}≦1+\sqrt{3}\)となり、\(X_{ｎ+1}≧3\)のとき、
\(Y_{n+1}＞1+\sqrt{3}\)

ⅲ)　\(Y_n＞1+\sqrt{3}\) のとき、
\(X_n＝１\)のとき　\(１≦Y_{n+1}＜(1+\sqrt{3})/2\)
\(X_n=2\) のとき、\((1+\sqrt{3})/2 ≦Y_n≦1+\sqrt{3}\)
\(X_n≧３\)のとき、\(Y_{n+1}＞1+\sqrt{3}\)　となります。

ここで、\(1≦Y_ｎ≦(1+\sqrt{3})/2\)となる確率を、\(ａ_n\)、\(Y_n＞1+\sqrt{3}\) となる確率を、\(ｂ_n\)とすれば、\(ａ_{n+1}＝1/6･ｂ_n\)
\(ａ_n+ｐ_n+ｂ_n＝１\)･･･････①　となります。
また、上記の議論から、\(ｐ_{n+1}＝1/6･ａ_n＋1/3･ｐ_n+1/6･ｂ_n\)･････②
①、②より、\(P_n\)の関係式を導くと、
\(p_{n+1}＝1/6･p_n+1/6\)　となります。
\(ｐ_1＝1/6\)ですから、\(ｐ_n＝1/5･(1－(1/6)^n\)　となります。