難関大入試問題演習

難関国立大入試問題演習

2017年度の入試に向けて、問題演習や模試を受けられていると思います。難関大では、それ相応な問題が出題されますので、どの分野が苦手なのかを把握するとともに、理系では数Ⅲの範囲（微積分、2次曲線など）も着実にこなしておくことが必要だと思います。もちろん数ⅠAやⅡBもきちんと理解しておく必要があります。まだセンター試験もありますから、数ⅠA,ⅡBも重要です。

難関国立大問題

【問題１】

\(p,q,\sqrt{2}p、\sqrt[3]{3}q\)がすべて有理数であるとき、\(p=q=0\)であることを示してください。(大阪大学）

【問題2】

２つの関数　\(y=sin(x+π/8)とｙ＝sin2x　のグラフの　0≦x≦π/2\)の部分で囲まれる領域を、\(x\)軸の周りに１回転させてできる立体の体積を求めてください。\(x=0とｘ＝π/2\)は領域を囲む線とは考えません。(京都大学）

【問題３】

素数\(p,q\)を用いて、\(p^q＋q^p\)と表される素数をすべて求めてください。（京都大学）

【問題4】

(1)　\(α＝\sqrt{13}＋\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)とします。整数係数の4次多項式\(f(x)\)で、\(f(α)＝0\)となるもののうち、最高次の係数が\(1\)のものを求めてください。

(2)　実数\(±\sqrt{13}±\sqrt{9＋2\sqrt{17}}±\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)（複合はすべての組み合わせを考えます。）のうち、（１）で求めた\(f(x)＝0\)の解となるものを求めその他は解でない事を示してください。

(3)　(2)の解の大小関係を示してください。

（名古屋大学）