難関大入試問題　解答編

いよいよ、2022年度の入試が近づいてきました。既に共通テストの対策は十分されていると思いますが、ぜひ頑張っていただきたいと思っています。ここでは、2月の2次試験のための基礎的な問題演習をやってみましょう。京都大学の入試問題ですが、文系の問題です。ここに問題の解答を記します。文系の問題でもありそれほど難しい問題ではありませんが、計算に気を付けてしっかり得点できることを目指してください。

【問題編】

【問題1】

実数　\(a\)　が変化するとき、\(3次関数　y=x^3－4x^2+6x\)　と直線　\(y=x+a\)　のグラフの

交点の個数はどのように変化しますか。\(a\)　の値で分類しなさい。

【解答1】

本問は計算だけの問題です。正確な計算力が求められます。

交点は、\( x^3－4x^2+6x ＝ x+a \)　⇔　\( x^3－4x^2+6x +5ｘ＝a\)　の実数解です。

\(f(x)＝ x^3－4x^2+6x +5ｘ \)　とおくと、\(f'(x)＝3x^2－8x+5＝(3ｘ－5)(ｘ－1)\)より.

\(ｘ＝5/3\)　で極小、\(ｘ＝1\)で極大　をとる。

また　\(f(1)＝2\)　\(f(5/3)＝50/27\)　
以上から、
\(a<50/27, 2<a \) のとき　1個
\(a=50/27, 2\) のとき　　2個
\(50/27<a<2 \) のとき　　3個

【問題2】

\(xy\)　平面上で次の　\(3つ\)の不等式を満たす部分の面積をもとめてください。

\(\vert x \vert≦2\)
\(ｙ≧ｘ\)

\(ｙ≦\vert 3/4・x^2－3 \vert－2\)

【解答2】
\(3/4・x^ －3＝0\)　のとき　\(x=±2\)
\(\vert x \vert≦2\) のとき、\(\vert 3/4・x^2－3 \vert－2＝3/4x^2+1\)

よって、求める面積　\(S＝\displaystyle \int_{-2}^{2/3}(－3/4・x^2 dx+1－x)＝64/27\)

【問題3】

\(0\)　以上の整数を　\(10進法\)　で表すとき、次の問いに答えてください。

ここで、\(n\)　は正の整数とします。

（１）各桁の数が、\(1\)　または　\(2\)　の　\(n\)　桁の整数を考えます。

　　それら全ての数の総和を　\(T_n\)　とするとき、\(T_n\)　を　\(n\)　で表してください。

（2）各桁の数が、\(0,1,2\)　のいずれかである　\(n\)　桁以下の整数を考えます。

　　それら全ての総和を　\(S_n\)　とするとき、\(S_n\)　が　\(T_n\)　の　\(15\)　倍以上になるのは

　　\(n\)　がいくつ以上のときですか。

　　必要なら、\(0.301＜\log_{ 10} 2＜0.302、0.477<\log_{ 10 } 3＜0.478\)　を用いてもよい。

【解答3】

（1）　\(0，1，2\)　桁の整数を考えると

　　　　\(0\)　桁はなし；\(1\)　桁は、1，2；\(2\)　桁は、11，12，21，22
　　　　\(3\)　桁は、111，112，121，122，211，221，222

　　　\(n≧2\)　で
　　　\(T_n＝2T_{n-1}+2^{n-1}・10^{n-1}+2^{n-1}・2・10^{n-1}＝3T_{n-1}+3・2^ｎ・10^{n-1}\)
　　　\(T_n/2^ｎ＝T_{n-1}/2^{n-1}+3/2・10^{n-1}\)
　　　よって　\(T_n＝2^{n-1}(10^ｎ－1）/3\)

（2）　to be continued