難関大が入試問題に出しそうな問題－解答編－

難関大が入試問題に出しそうな問題

よく数学の未解決問題が解決したときに、その題材を基にした入試問題が、出題されることがあります。フェルマーの定理がワイルズによって証明された翌年には、信州大がそれを題材にした問題を出題しています。ここに出した問題は、実は全て未解決問題に関連しているものなのです。これらが証明されたら、入試問題の題材になるのでしょうか。 講義・問題例は次のリンクです。難関大が入試に出しそうな問題

難関大が入試問題に出しそうな問題の解答

【問題１】

ある自然数を考えるとします。もしその自然数が偶数なら２で割ります。もし奇数だとすれば、その数を３倍して1を足すものとします。このような計算をして求まった数に10倍した数を、あなたのこの問題の点数にします。何点からはじめますか。

【解答１】

この問題は、\(3N+1\)問題ないしコレッツ問題と言われている問題で
かなりの大きな数まで（1700万けたの自然数）正しいことが確かめられているのですが、未解決問題です。今のところどのような自然数を持ってきても、最終的には1になります。誰でも10点らしいというところです。

【問題２】

\(1/1^2+1/2^2+･････････････････+1/ｎ^2+･･･････････････\)
＝\(1/(１－1/2)･1/(1－1/3)･････････････1/(1－1/p)･･････)\)
が成り立つことを証明してください。積は全ての素数に関する積をあらわしています。

【解答２】

\(ζ(s)＝1/1^2+1/2^2+･････････････････+1/ｎ^2+･･････････\)は
リーマンのゼータ関数であり、リーマン予想は、未だに未解決です。
ただ、オイラーによって、ゼーター関数は、全ての素数に関する無限積
であらわされる、と言うのがこの問題です。リーマン予想は極めて難しいですが、この問題の等式の証明はそれ程難しくはありません。

\(1/(１－1/2)･1/(1－1/3)･････････････1/(1－1/p)･･････)\)＝\((１+1/2+1/2^2+･････)(1+1/3+1/3^2+････)･････(1+1/p+1/ｐ^2+･･････)･････････)\)
＝\(\displaystyle \prod_{ i = 0 }^{∞} (１－ｐ^{-1})＝ζ(s)\)

【問題３】

\(ｎ\)を自然数とするとき、どのようなｎに対しても、\(4/n＝1/a+1/ｂ+1/c\)を満たす自然数\(a,b,c\)が存在することを証明してください。

【解答３】

実は、この問題も未解決と言われています。私はこの問題の驚くべき証明を見つけましたが、それをここに書くにはこのページは狭すぎます。