難関国立大の問題

難関国立大学の問題

難関国立大学の数学の入試問題演習をやってみましょう。基本的な公式の証明問題が出題されています。これは、常識的な公式ですが、きちんと理解しておかないと戸惑うかもしれません。かつて、東大で３角関数の加法定理の証明の問題がでていますし、\(πが3.05\)より大きいことを証明する問題がでています。基礎は大切だということでしょう。

難関国立大学の数学演習　　大阪大学　(１５０分)

【問題１】

３角関数の極限に関する公式　\(\displaystyle \lim_{ n \to 0 }sinx/x=1\)を示すことにより、\(sinxの導関数がcosx\)であることを証明してください。

【問題２】

不等式　\(1≦ｌ\vert x \vert－2ｌ+ｌ\vert y \vert －2ｌ≦3\)の表す領域を\(xy\)平面上に示してください。

【問題３】

４個の整数　\(n+1, n^3+3, n^5+5, n^7+7\)　が全て素数となるような正の整数\(n\) は存在しないことを証明してください。

【問題４】

\(xyz\)空間内の３点　O(1,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0)を頂点とする3角形\(OAB\)を\(x\)軸のまわりに回転してできる円錐を\(V\)とします。円錐\(V\)を\(y\)軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください。

【問題５】

\(n\)を３以上の整数とします。\(n\)個の球\(K_1,K_2,････････,K_n\)と\(n\)個の空の箱\(H_1,H_2,････････,H_n\)があるとします。
次のように\(K_1,K_2,････････,K_n\)の順に、球を箱に入れるものとします。
まず、球\(K_1\)を\(H_1,H_2,････････,H_n\)のどれか１つに無作為に入れます。次に\(K_2\)を、箱\(H_2\)が空なら、\(H_2\)に入れ、空でなければ、残りの\(n－1\)個の空の箱のどれか1つに無作為に入れます。
一般に、\(i＝2,3,････････,n\)について、球\(K_i\)を箱\(H_i\)が空でなければ、残りの\(n－i+1\)個の空の箱のどれか1つに無作為に入れるものとします。
(1)\(K_n\)が入る箱は、\(H_1またはH_n\)であることを証明してください。
(2)\(K_{n-1}がH_{n-1}\)に入る確率を求めてください。