難問の解き方

難問落穂ひろい　難し目のセットです。

【問題1】

数列　\(a_n、b_n,c_n\)について、\(a_1=1、b_1=2、c_n=3\)とします。
\(a_{n+1}＝(b_n+c_n)/2\)
\(b_{n+1}＝(c_n+a_n)/2\)
\(c_{n+1}＝(a_n+b_n)/2\)
の関係が、\(n=1,2,3,･･･････\)で成り立つとします。
このとき、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n\)
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n\)
が極限値を持つかどうかしらべ、極限値をもつなら、その値を求めてください。
（久留米大・医）

【問題2】

\(\displaystyle \sum_{ i= 1 }^{ n } 1/i^k＝1/1^k+1/2^k+･･････+1/n^k+･･････\)
の無限級数の収束、発散を判定してください。
ただし、有界な増加数列は収束する事が知られていますが、これは使っていいものとします。
（金沢美工大）

【問題3】

\(x>0\)において、
\(f(x)=log(x+1)－logｘ\)とします。
(1)　\(1/(x+1)<f(x)<１／ｘ\)　であることを証明してください。
(2)　次の不等式　\(f(x)>1/(x+a)\)が常に成り立つような最小の正の数\(a\)を求めてください。
（東京理科大）

【問題4】

全ての実数\(x\)で定義された関数　\(f(x)\)　は次の２条件を満たしているとします。
(A)　任意の　\(x,y\)　にたいして、
\(f(x+y)≧f(x)f(y)\)
(B)　任意の実数　\(x\)に対して、\(f(x)≧1+ｘ\)

このとき、次の問いに答えてください。
(1)　\(f(x)≧0\)を証明してください。
(2)　\(0<\vert　h\vert<1\)のとき、\((f(x+h)－f(x))/ｈ\)は、\(f(x)/(1-h)\)と\(f(x)\)の間にあることを証明してください。
(3)　\(f(x)\)を求めてください。
（宮城教育大）