関数方程式－関数の関係式－

関数方程式について

関数方程式は、ある関数が、ある関係式を満たしているものの関係式をいいます。通常の場合、関数は考えている区間ないし実数で連続、微分可能であることが条件として与えられています。たとえば、ｘ、ｙを実数とするとき、f(x)が微分可能であり、f(0)=0、f(x+y)=f(x)+f(y)　を満たすような関数の方程式のことです。これは、ｆ'(x)=lim(h→0){f(x+h)-f(x)}/h=ｆ’(0)＝a（定数となります。）従って、f(x)＝ax　です。関数方程式は、微分方程式にもっていって、それを解くのが通常のやり方です。

関数方程式の問題

【問題１】

f(x)は全ての実数で定義された微分可能な関数で、

f(x)+f(y)＝f{(x+y)/(1-xy)}、ｆ’(0)＝1を満たすものとします。

（１）このとき、\(ｆ’(x)＝1/(1+x^2)\)　であることを示してください。

（２）f(x)を求めてください。

【問題２】

関数f(x)が任意の実数x,yに対して

f(x+y)＝f(x)f(y)、ｆ'(0)＝1　を満たすとします。

（１）f(0)の値を求めてください。

（２）f(x)は、-∞<x<+∞で微分可能である事を示し、f(x)を求めてください。