関数のパラメーター表示－媒介変数で表される関数の扱い方－

関数のパラメータ表示

２次元で、\(ｙ＝ｆ(x)\)　で表される関数の独立変数ｘ、従属変数ｙが、同一の文字、ｔやθで表された関数を、パラメータ表示された関数といいます。

簡単な例では、円　\(ｘ^2＋ｙ^2＝１\)は、ｘ＝cosθ、ｙ＝sinθ  (０≦θ＜２π) などで表されます。楕円は、ｘｙ座標で、\(ｘ^2/ａ^2＋ｙ^2/ｂ^2＝１\) で表されますが、\(ｘ＝ａcosθ、ｙ＝ｂsinθ（０≦θ＜２π）\)でパラメトライズされます。

\(ｘｙｚ\)の３次元座標では、曲座標表示、円筒座標表示などが出来ます。曲座標では、　\(ｘ＝ｒsinθcosφ、ｙ＝ｒsinθsinφ、ｚ＝ｒcosθ\)　で表す事が出来ます。また円筒座標では、円筒状の点を考え、\(ｘ＝ｒcosφ、ｙ＝ｒsinφ、ｚ＝ｚ\)　でパラメトライズされます。

パラメータ表示された関数の解法

問題としては，２次元であれば、\(ｘ＝ｆ(t)、ｙ＝ｇ(ｔ）\)で表されていますから、微分は、\(ｄｙ/ｄｘ＝(ｄｆ/ｄｔ)/(ｄｇ/ｄｔ)\)でパラメータでの微分をすればよい事になります。

積分であれば、\(ｙ＝ｆ(x)\)　ですから、\(∫ｙｄｘ＝∫ｆ(g(t))･ｇ’(t)･ｄｔ\)　と言う置換積分をすればいい事になります。パラメータに関する問題は、グラフを書く問題や、最大、最小を求める問題や、面積・体積を求める問題がほとんどです。これらを確実にマスターしておけばいいと思います。

パラメータ表示された関数の問題

【問題１】

ｘｙ平面上の曲線で、曲線Ｃを以下のように定義します。

\(ｘ＝(１＋cosθ)･cosθ\)
\(ｙ＝(１＋cosθ)･sinθ　（－π＜θ≦π）\)

Ｃによって囲まれた領域をＤとすると、

（１）Ｃの概形とこの曲線の長さを求めてください。

（２）Ｄの面積を求めてください。

（３）Ｄをｘ軸の回りに１回転してできる回転体の体積を求めてください。

【問題２】

座標空間内の４点、\(（0,0,0）、(tcosｔ,tsint､0)、(tcost,tsint,t)、(0,0,t)\)　を頂点とする正方形を考え、ｔが０からπ/2まで変化するときの正方形が描く立体をKとします。

（１)Kを平面\(ｚ＝θ(0≦θ≦π/2)\)で切った切り口の面積\(Ｓ(θ)\)を求めてください。

（２）\(Ｋの体積Ｖ\)を求めてください。