関数のパラメーター表示-問題の解答編
関数のパラメータ表示
関数のパラメーター表示は、y=f(x)やz=g(x,y)などの関数の独立変数、従属変数を別の1つの変数、例えばtやθなどで表示されたものです。パラメータ表示の問題をあげておきましたので、解答を書いておきます。
問題の解答
【問題1】
xy平面上の曲線で、曲線Cを以下のように定義します。
x=(1+sinθ)cosθ
y=(1+cosθ)sinθ(-π<θ≦π)
Cによって囲まれた領域をDとすると、
(1)Cの概形とこの曲線の長さを求めてください。
(2)Dの面積を求めてください。
(3)Dをx軸の回りに1回転してできる回転体の体積を求めてください。(大阪市立大)
【解答1】
(1)xはθの偶関数、yはθの 奇関数ですから、曲線Cの、-π<θ≦0と 0≦θ<πの部分は、x軸に関して対称です。
よって、π<θ≦0のときdx/dθ=-2sinθ(cosθ+1/2),dy/dθ=2(cosθ+1)(sinθ-1/2),となりますから、dy/dx=-(cosθ+1)(sinθ-1/2)/{2sinθ(cosθ+1/2)}となります。
これより、増減表を書き、Cの概形を考慮し、x軸との対称性を考え、さらに、(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2=4cos^2(θ/2)、従って、Cの曲線の長さは、2√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ=8 となります。
(2)Dの面積も、対称性を考慮すると、
S=2{∫(-1/4~2)ydx-∫(-1/4~0)ydx}=-2{∫(2π/3~0)ydx/dθ・dθ-∫(2π/3~π)ydx/dθ・dθ}=-2∫(0~π)y(dx/dθ)dθ=2∫(0~π)(-2cos^4θ+cos^2θ+1)dθ=3π/2・・・・・(答)(Wallisの公式を使っています。)
(3)回転体の体積Vは、
V=π∫(-1/4~2)y^2・dx-π∫(-1/4~0)y^2・dx=-π∫(0~π)y^2・dx
=π∫(0~π)(cosθ+1)^2・sin^2θ・(-sinθ)(2cosθ+1)・dθ
=π∫(0~π)(cos+1)^2・(2cosθ+1)・sin^3θ・dθ ・・・・・①
ここで,t=cosθと置換すると
V=π∫(1~-1)(t+1)^2(2t+1)(1-t^2)(-dt)=8/3・π・・・・・・(答)
計算は、相当面倒です。 一部詳細計算は、省略してあります。
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