連立方程式の解－線形代数学の初歩・クラメールの公式－

１次連立方程式の解

旧課程では、数Cで行列(２行、２列）をやっていましたので、少しは理解しやすいと思いますが、現過程では、行列は高校ではやらず、大学の線形代数学でやることになっています。(2,2)の行列は余りにも特殊で、あえて数Cでやる意味があるのかどうか疑問には思っていましたが、以前の履修状況になりました。線形代数を体系的に学ぶには、この方が好ましいと思っています。

2元1次連立方程式は、以下のような連立した方程式を解くことになります。

\(ａｘ+ｂｙ＝ｅ\)
\(ｃｘ+ｄｙ＝ｆ\)

この解法は中学で学びますし、容易です。これを行列、列ベクトルで書くと

\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}ｘ \\ｙ \\  \end{array}\right)\)＝\(\left(\begin{array}{c}ｅ \\ｆ \\  \end{array}\right)\) となります。

上の２元１次連立方程式を解くのは容易だと思います。

１次連立方程式の一般化

数学では、特殊なものから一般的なものを考えていくのが慣例です。一般式を導くのが重要になってきます。連立ｎ元１次方程式では、次のようになります。

\(ａ_{11}･ｘ_1+ａ_{12}･ｘ_2+･････････････+ａ_{1n}･ｘ_n＝ｙ1\)
\(ａ_{21}･ｘ_1+ａ_{22}･ｘ_2+･････････････+ａ_{2n}･ｘ_n＝ｙ2\)
･････････････････････
･････････････････････

\(ａ_{n1}･ｘ_1+ａ_{n2}･ｘ_2+･････････････+ａ_{nn}･ｘ_n＝ｙ_n\)

となります。\(ａ_{ij}、ｙ_i\)は定数、でｘ_i（i,j＝1,2,3,･･････n）は独立変数で、
\(ｘ_i\)を求めることになります。

行列式で表したｎ元連立１次方程式

上の連立方程式を書くのは、繁雑ですから、行列と列ベクトルを使います。

\(A\)＝\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)

x=\(\left( \begin{array}{c}  x_1 \\     x_2 \\ \vdots \\     x_n \end{array} \right)\), y=\(\left( \begin{array}{c}  y_1 \\     y_2 \\ \vdots \\     y_n \end{array} \right)\) とおけば、連立方程式は、

Ａｘ＝ｙ･･･････①
という簡単な式で表すことができます。すこし具体的に書くと、

\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn }
\end{array}\right)\end{eqnarray}\)･\(\left( \begin{array}{c}  x_1 \\     x_2 \\ \vdots \\     x_n \end{array} \right)\)＝\(\left( \begin{array}{c}  y_1 \\     y_2 \\ \vdots \\     y_n \end{array} \right)\)

となります。

①の関係式は、行列Ａが、逆行列　\(Ａ^{-1}\)を持てば、①式の両辺に\(Ａ^{-1}\)
をかければ、\(Ａ^{-1}･Ａ･ｘ\)＝\(Ａ^{-1}･ｙ\)　となり、

\(ｘ＝Ａ^{-1}ｙ\)　となります。\(Ａ^{-1}\)は、Ａの行列式が0でない場合、すなわち、\(\mathrm{ det }A\)≠0ならば、求めることができます。

３元連立1次方程式の例

\(ａ_1･ｘ+b_1･ｙ+ｃ_1･ｚ＝ｐ\)
\(ａ_2･ｘ+ｂ_2･ｙ+ｃ_2･ｚ=ｑ\)
\(ａ_3･ｘ+ｂ_3･ｙ+ｃ_3･z＝ｒ\)

の連立方程式の解は、

A＝\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_1 & b_1 & c_1 \\
ａ_2 & ｂ_2& ｃ_2 \\
a_3& ｂ_3& ｃ_３
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)　とおき、

\(X＝\left(
\begin{array}{c}
ｘ \\
ｙ\\
ｚ
\end{array}
\right)\) ,\(Ｐ＝\left(  \begin{array}{c}    ｐ \\    ｑ\\   　ｒ  \end{array}
\right)\)

とおけば、\(ＡＸ＝Ｐ\)　となりますから、\(Ｘ＝Ａ^{-1}･Ｐ\)となり、

\(ｘ\)＝\(\begin{eqnarray}
\mathrm{det}
\begin{vmatrix} p & b_1&ｃ_1 \\ q& b_2&c_2\\r&b_3&c_3 \end{vmatrix}
\end{eqnarray}\)/\(\begin{eqnarray}\mathrm{det}
\begin{vmatrix} ａ_1 & b_1&ｃ_1 \\ ａ_2& b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}
\end{eqnarray}\)

などとなります。ただし、\(detA≠0\)の場合です。

このようにすれば、ｎ次元の連立1次方程式も公式化して解くことができます。