軌跡と方程式－解答編－

軌跡と方程式

デカルト座標における軌跡の問題は、数学全体であつかわれるものですから、十二分に利用しましょう。初等幾何学で解くと相当面倒なものも、座標平面を使うと、式の計算で求める図形や曲線を求めることができますし、最大・最小問題にも応用できます。講義と問題は、次のリンクです。軌跡と方程式

軌跡と方程式の解答

【問題１】

\(ｘｙ\)平面上で、円\(C：ｘ^2+ｙ^2＝1\)の外部にある点\(P(a,b)\)を考えます。
点\(P\)から、円\(C\)に引いた２つの接線を\(Q_1、Q_2\)とし、線分\(Q_1Q_2\)
の中点を\(Q\)とします。
点\(P\)が、円\(C\)の外部で、\(x(x-y+1)＜0\)を満たす範囲にあるとき、、点\(Q\
の存在する範囲を図示してください。（京大）

【解答1】

点\(P(a,b)\) が円Cの外部で、\(x(x-y-1)＜0\)　の範囲にありますから、
\(ａ^2+ｂ^2＞1･･････①\)
\(ａ(a-b+1)＜0･･････②\)　です。
\(Q=(X,Y)\)　とおくと、\(OQ＝\sqrt{X^2+Y^2}\)･･････③

また、\(△OPQ_1∽△OQ_1Q\)ですから、
\(OP=OQ_1^2/OQ＝1/(\sqrt{X^2+Y^2})\)･･････④

③、④より、
\(OP＝1/(X^2+Y^2)･OQ\)ですから、
\(ａ＝Ｘ/(Ｘ^2+Ｙ^2）、ｂ＝Ｙ/(Ｘ^2+Ｙ^2)\)

よって、\(Ｘ^2+Ｙ^2＜1\)･･････⑤
また、\(Ｘ(Ｘ^2+Ｙ^2+Ｘ-Ｙ）＜0\)･･････⑥

従って、\(Ｘ^2+Ｙ^2＜1、Ｘ(Ｘ^2+Ｙ^2+Ｘ-Ｙ)＜0\)
これの図の範囲を書けばいいことになります。

【問題２】

２つの実数、\(a,b\)のうち大きい方を、\(max\)\((a,b)\)とします。\(a=b\)なら、
\(max\)\((a,b)\)＝\(ａ\)とします。
不等式　\(１\)≦\(max\)\((4x+4y－3、ｘ^2+ｙ^2)\)≦\(5\)
を満たす点\((x,y)\)の範囲を図示してください。（京大）

【解答２】

それほど、難しくはありません。

\(4x+4y－3≧ｘ^2+ｙ^2\)のとき、
\(1≦4x+4y－3≦5\)

\(4x+4y－3＜ｘ^2+ｙ^2\)のとき、
\(1≦ｘ^2+ｙ^2≦5\)

この二つを、\(（x,y)\)平面上に書けばいいことになります。

【問題３】

\(ｘｙ\)平面上の点\(P(a,b)\)に対し、正方形\(S(P)\)を、連立方程式
\(ｌｘ－ａｌ≦1/2、ｌｙ－ｂｌ≦1/2\)を満たす領域として定めます。
原点と\(S(P)\)の点との距離の最小値を、\(f(P)\)　とします。
点\((2,1)\)を中心とする半径１の円の円周上を、\(P\)が動くとき、
\(f(P)\)の最大値を求めてください。（東大）

【解答３】

点\(P\)が、中心\((2,1)\)、半径1の円周上を動くとき、\(S(P)\)は、\(ｘ＞0\)の部分を動きます。

\(f(P)\)を与える点を、\(Q\)とすると、\(f(P)＝OQ\)となります。

\(S(P)\)がｘ軸と共有点をもつとき、
\(0≦ｂ≦1/2で、－\sqrt{3}/2≦ａ－2≦\sqrt{3}/2\)　であり、\(Q(ａ-2、0)\)だから、\(Q(x,y)\)は、\(ｙ＝0　(3－\sqrt{3})/2≦ｘ≦(3+\sqrt{3})/2)\)

\(S(P)\)が、ｘ軸と共有点を持たないときは、
\(1/2≦ｂ≦2で、Q(ａ－1/2、ｂ-1/2)\)　ですから、
\(ａ＝ｘ+1/2、ｂ＝ｙ+1/2\)
これを\(a-1)^2+(ｂ-1)^2＝1\)に代入すると、

\(Q\)の軌跡は、
円　\((ｘ－3/2)^2+(ｙ－1/2)^2＝1のｙ≧0\)の部分

以上より、\(f(P)＝OQ\)が最大となるのは、OQが円の中心Aを通るときです。
よって、\(f(P\)の最大値は、
\(OA+AQ_1＝\sqrt{(3/2)^2+(1/2)^2}+1＝(2+\sqrt{10})/2\)
となります。