軌跡と方程式－図形と方程式、不等式の関係－

軌跡と方程式

デカルトによって導入された座標平面で図形をあらわす解析幾何学ができてから、
幾何学は、代数方程式や他のいろいろな方程式や不等式で、図形や範囲をあらわすことができるようになり、幾何学の範囲が広まりました。ここでは、軌跡と方程式について、座標平面を用いて演習をして見ましょう。

軌跡と方程式、不等式の関係

【問題１】

$ｘｙ$平面上で、円$C：ｘ^2+ｙ^2＝1$の外部にある点$P(a,b)$を考えます。
点$P$から、円$C$に引いた２つの接線を$Q_1、Q_2$とし、線分$Q_1Q_2$
の中点を$Q$とします。
点$P$が、円$C$の外部で、$x(x-y+1)＜0$を満たす範囲にあるとき、、点\(Q\
の存在する範囲を図示してください。（京大）

【問題２】

２つの実数、$a,b$のうち大きい方を、$max{a,b}$とします。$a=b$なら、
$max{a,b}＝ａ$とします。
不等式　$１≦max{4x+4y－3、ｘ^2+ｙ^2}≦5$
を満たす点$x,y)$の範囲を図示してください。（京大）

【問題３】

$ｘｙ$平面上の点$P(a,b)$に対し、正方形$S(P)$を、連立方程式
$ｌｘ－ａｌ≦1/2、ｌｙ－ｂｌ≦1/2$を満たす領域として定めます。
原点と$S(P)$の点との距離の最小値を、$f(P)$　とします。
点$(2,1)$を中心とする半径１の円の円周上を、$P$が動くとき、
$f(P)$の最大値を求めてください。（東大）

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