論証に関する問題

論証に関する問題

入試問題には、いろんなタイプの問題がありますが、論証に関する問題はきちんと考えないと正解に到達できないものがあります。

論証の問題

【問題1】

円に内接する４角形があって、どの三頂点も二等辺三角形の三頂点になっています。この四角形はどんな形をしていますか。
（名古屋大学）

【問題2】

ある離れ島の地図があります。この地図で島の海岸線になっている曲線を　\(C\)　とします。曲線　\(C\)　上のどのような三点　\(X,Y,Z\)　をとっても、常に　\(△XYZ\)　が作図できて、その外接円の半径　\(r\)　は一定です。このとき地図上の島の形を求めてください。
（神戸大学）

【問題3】

\(m,n,p,q\)　を整数値とします。\(12m+8n\)　の形の整数全体の集合を　\(M\)　\(20p+16q\)　の形の整数全体の集合を　\(N\)　とします。\(M\)　と　\(N\)　は一致することを証明してください。
（神戸大学）

【問題4】

（１）実数の対　\((a,b)\)　について、\(a+bk\)　が有理数となる自然数　\(k\)　が　\(2\)　個以上存在するならば、\((a,b)\)　の対は有理数の対であることを証明してください。

（２）実数の　\(n\)　個の対　\((a_1,b_1)、(a_2、b_2)、････････、(a_n,b_n)\)　が次の性質をもつとします。
\(n+1\)　以下のどんな自然数　\(k\)　についても、\(a_1+kb_1、a_2+kb_2、･･････････a_n+kb_n\)　のうち少なくとも１つは有理数であるとします。
このとき、対　\(a_i,b_i\)　について、\(a_i+kb_i\)　が有理数になるような　\(k\)　の集合を　\(M_i\)　とします。
\(M_1,M_2、･････････、M_n\)　の和集合を求めてください。

（３）上記の　\(n\)　個の対の中に有理数が含まれることを証明してください。
（大阪市立大学）

【問題5】

平面上に　\(n\)　個の点からなる集合　\(A\)　が与えられたとします。\(A\)　のどの　\(2\)　点の距離も　\(1\)　より小さければ、\(A\)　を内部に含む半径　\(\sqrt{3}/2\)　の円が存在することを証明してください。
（お茶の水女子大学）