計算を主体とする問題－解答編－

理系の数学の問題

今回の問題は、計算のやや面倒な問題をやってみましょう。このような問題は、ややもすると計算ミスをしたり、根気が萎えたりすることがあるかもしれませんが、丁寧かつ敏速に最後の結果にたどり着けるように演習をしましょう。略解を示しておきます。きちんと計算すれば正答に達するはずです。

数Ⅲの問題

【問題１】

\(xyz\)直交空間で、\(x^2+y^2+log(1+z^2)≦log2\)　の表す空間図形の体積を求めてください。

【解答1】

\(z=t\)の切断面は、円となります。積分することになります。

(答)　\(4π－π^2\)

【問題２】

楕円\(x^2/17+y^2/8＝1\)　の外部の点\(P(a,b)\)から引いた2本の接線が直交するような点\(P\)の軌跡を求めてください。

【解答2】

\(x^2+y^2＝25\)

【問題3】

複素数平面上で、、３つの複素数　\(z,z^2,z^3\)の表す点をそれぞれ、\(A,B,C\)とします。ただし、3点\(A,B,C\)は互いに異なるものとします。
\(∠ACB\)が直角で、かつ\(AC=BC\)が成り立つとき、複素数\(z\)を求めてください。

【解答3】

(答)　\(z=－1/2±1/2･i\)

【問題4】

数列\(a_n\)を
\(a_n=logn!\)　\((n=1,2,3,･････････)\)　で定義します。

(1)　\(a_{n-1}<\displaystyle \int_{1}^{n} logxdx<a_n\)　\((n>2)\)　の不等式を証明してください。
(2)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n/(nlogn)\)　を求めてください。

【解答4】

(2)　答　\(1\)