解析関数－Cauchy・Riemannの微分方程式

独立変数、従属変数が複素数の時の微積分

高校までの段階では、微分積分を考えるときは、変数はすべて実数の範囲で考えます。微分積分は、実数から複素数への拡張が考えられます。このように独立変数、従属変数が複素数である場合での微積分の性質を調べるのが、複素関数論です。独立変数をｚ、従属変数をｗとし、ｚ＝ｘ+iy、　ｗ＝ｕ＋ｉｖとします。ｘ、ｙ、ｕ，ｖは実数です。ｗ＝ｆ(z)＝ｕ＋ｉｖここで、ｕ，ｖはｘ、ｙの関数ではありますが、どんな関数でもいい訳ではありません。ｗ＝ｆ(ｚ）が解析的であるには、ある条件を満たさなければなりません。複素数の微積分は大学で学ぶものですが、実数から複素数への拡張は、容易な考え方ですから、知っておいてもいいのではないかと思います。

複素関数論での基本的な式

考え方としては、Δｚの変化に対するΔｗの変化の割合、すなわちΔｗ/Δｚが、極限値を持つと言う条件をつけるのは、実数関数の微積分と同様です。Δｗ/Δｚ＝Δｆ(ｚ）/Δｚ＝｛Δ（ｕ+ｉｖ）/｛Δｘ＋Δｙ｝がΔｘ、Δｙの比に無関係な極限値を持つことが、必要十分条件となります。すなわち

lim(Δｘ→０)[｛（ｕ(ｘ＋Δｘ)､ｙ）＋ｉ(ｖ(ｘ+Δｘ,ｙ）}/Δｘ－{u(ｘ+Δｘ,ｙ）+ｉｖ(ｘ,ｙ）}/Δｘ

＝lim(Δｙ→０)[｛（ｕ(ｘ､ｙ+Δｙ）＋ｉ(ｖ(ｘ,ｙ+Δｙ）}/Δｘ－{u(ｘ,ｙ）+ｉｖ(ｘ,ｙ）}/ｉΔｙ

従って、∂u/∂ｘ＋ｉ∂ｖ/∂ｘ＝∂ｖ/∂ｙ－ｉ∂ｕ/∂ｙ･･････①

が成り立つことになります。ｕ、ｖ、∂u/∂ｘ、∂ｕ/∂ｙは実数ですから、①から、

∂u/∂ｘ＝∂ｖ/∂ｙ、∂ｖ/∂ｘ＝－∂ｕ/∂ｙ･･･････②

が成り立つことになります。②をCauchy-Riemannの微分方程式といいます。逆に②が成り立つなら、Δｘ、Δｙにかかわらず、

lim(Δｚ→０）{ｆ(ｚ＋Δｚ）－ｆ(ｚ）}/Δｚ＝ｆ’（ｚ）が存在することが示せます。少し計算は面倒にはなります。

解析関数について

複素平面上のある領域で、Cauchy－Riemannの微分方程式が成り立つような関数ｆ(z)を解析関数と言います。（analytic function)　と言います。１　価の解析関数で、Cauchey-Riemannが成り立つような点ｚ、すなわち微分可能な点を、正則点（regular point)、正則で無い点（微分係数の存在しない点を）を特異点（singular point）と言います。

ｆ(ｚ）が正則であれば、ｆ’(z）も正則である事を示すことが出来ます。従って、ｆ(ｚ）は何階でも微分可能と言う事になります。正則であれば、②式のCauchey－Riemannが成り立ちますから、

∂＾2ｕ/∂ｘ＾2＝∂ｖ＾2/∂ｘ∂ｙ、∂＾2ｖ/∂ｙ＾2＝－∂ｕ＾2/∂ｘ∂ｙが成り立ちますから、下記の式が成り立つことになります。

∂＾2ｕ/∂ｘ＾2＋∂＾2ｕ/∂ｙ＾2＝０････････③

∂＾2ｖ/∂ｘ＾2＋∂＾2ｖ/∂ｙ＾2＝０････････④

③、④をLaplaceの微分方程式といい，ｕ、ｖは調和関数とも言います。このように、解析関数ｆ(z)の実部ｕ(x,y)、ｖ(x,y)は、ｘ、ｙの関数としては極めて特殊な関数であるといえるのです。