複素平面－ガウス平面の扱い方－

複素平面について

複素平面は、新課程になって行列の代わりに入ってきた単元ですが、複素平面の考え方は、ベクトルにも通じるものもありますし、物理学とも関係があります。

また、座標平面と同様に極形式も考えます。複素数そのものは、電磁気学や波動力学、量子力学などにも多く使われます。大学に入ってもいろんな場面で使われていますので、基礎をしっかり理解し、応用問題にも備えてください。

複素平面の問題

【問題１】

複素平面上に0と異なる３点\(ｚ_1、ｚ_2、ｚ_3\)があり、次の条件を満たしているとします。

(A)\(argz_1＝argz_2+120°\)
(B)点\(z_3\)は、２点\(z_2、z_3\)を通る直線に関して点０と反対側にあります。
(C)\(△z_1z_2z_3は、正３角形です。

(1)\(α＝cos60°+ｉsin60°\)とするとき、
\(αz_1＝ｐz_2、αz_3＝ｓz_1+ｔｚ_2\)となる実数\(p,q,s,t\)をそれぞれ
\(ｌz_1ｌ、ｌz_2ｌ\)を用いてあらわしてください。

(2)\(z_3＝ａz_1+ｂz_2\)となる実数\(ａ，ｂ\)をそれぞれ、\(ｌz_1ｌ、ｌz_2ｌ\)を用いてあらわしてください。
（一橋大）

【問題２】

(1)複素数\(ｚ＝ｘ+ｙｉ、ｘ、ｙは実数\)を\(ｚ+1/ｚ\)が実数となるように
動かすとします。\(ｘ^2･ｙ+4ｙ^3\)の最大値を求めてください。

(2)座標平面上の各点\(Ｐ(x,ｙ)\)に対して、
複素数\(ｚ＝(ｘ+ｙ－1/2）＋（ｘ－ｙ)ｉ\)を考えます。
このとき、\(ｚ^2+1/ｚ^2\)が実数となるような点\(Ｐ(x,y)\)を求めて
ください。
（東京医科歯科大）

【問題３】

平面上に直線ｌとｌ上にない点Aをとります。
直線ｌ上に点Bを線分ABと直線ｌが直交するようにとり、点Bを中心として直線ｌを角度θだけ回転して得られる直線をｍとします。

直線 l 上にない点Pをとり、直線ｌに関してPと対称な点をQとします。また、点Aを中心として点Qを2θだけ回転して得られる点をRとします。
このとき、線分PRの中点Mは直線ｍ上にある事を証明してください。
（大阪大）