複素平面の問題解答－アイのある数学－

複素平面の問題

アイのある数学の記事で下記の問題をあげておきました。問題の解答をかいておきますので、参考にしてください。

【問題】ｚを絶対値が１の複素数とします。このとき下記の問いに答えて　ください。

ｎを自然数とします。ｚ＾n+１の絶対値が１となるようなｚを全て掛け合わせて得られる複素数を求めてください。

問題の解答

この問題も、言わずと知れたド・モアブルの定理の応用です。

lｚl＝１ですから、ｚ＝cosθ＋ｉsinθ　とかけます。従ってド・モアブルの定理から、ｚ^n＝cos(nθ）＋isin(nθ）となります。よって、lｚ^n＋１l＝１ですから、両辺を２乗して整理すると、（cosnθ＋1）^2＋sin^nθ＝１となります。これより、cosnθ＝－1/2となりますから、

nθ＝2/(3n)・π＋2ｍπ、4/（3n）・π＋２ｍπ　となります。（m＝1･･･、n-1）

求めるものは、これらの全ての複素数を全て掛け合わせたものですから、その偏角は、上記２つの偏角を足し算したものとなります。

つまり、Σ(m=1～n-1)｛(2π/3ｎ＋2mπ/ｎ）＋(4π/3n＋２ｍπ/n）｝

＝Σ｛2π/n＋4ｍπ/n）＝2π＋2π・（n-1)＝２ｎπ

従って求める答えは,　cos2nπ＋isin2nπ＝１　･･････（答）となります。

解法のポイント

ド・モアブルの定理と極形式であらわされた複素数の積は、動径の積に偏角の総和をとった複素数になると言う点です。複素平面では、ド・モアブルはよく使いますから、十分演習をやっておきましょう。

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