融合問題演習－いろいろな分野を含んだ問題－

融合問題について

入試問題には、各単元の単独の問題ももちろん出題されますが、さまざまな分野が絡み合った問題が結構あります。不等式と微積分や図形と極限や面積、体積、数列と図形の問題などがあります。

今回はこのような融合的な問題を取り上げて見ましょう。問題を見て、どういう手法を使うのかをよく見極めるようにしてください。問題は誘導などを省略している場合があります。真の実力をためしていただきたいためです。

融合問題演習

【問題１】
$0＜ａ＜ｂ≦π/2$のとき、不等式　$a/b＜sina/sinb＜π/2･(a/b)$　が成り立つことを証明してください。

【問題２】
m,nを自然数とするとき、$ｍ^n＝ｎ^m$を満たす自然数の組（m,n)をすべて求めてください。

【問題３】
２直線ｌ：ｙ＝－2/3ｘ+2、ｍ：ｙ＝ｘがあります。P1(0,2)とし、
P1を通りｘ軸に平行な直線と直線ｍとの交点をQ1
Q1を通りy軸に平行な直線と直線ｌとの交点をP２
P２を通りｘ軸に平行な直線と直線ｍとの交点をQ２
Q２を通りｙ軸に平行な直線と直線ｌとの交点をP3
以下同様にして、点Pn、Qn(n＝1,2,3,･･･････)とし、
また、点Pnのｘ座標をxn（n＝1,2,3･････)とします。

線分PnQnの長さをLｎとするとき、
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } L_n$ を求めてください。

【問題4】
正の実数a,b,cが、a+5b+7c＝12を満たすとします。
$\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}$ の最大値を求めてください。

【問題５】
ｎ≧10の自然数のとき、$２^n＞ｎ^3$ が成り立つことを証明してください。

【問題６】
ａを定数とし、$f(x)＝ｘ^4－ｘ^3－3ｘ^２$とします。曲線y=f(x)に点(0,a)から接線がただ1本引けるとし、かつこの接線はただ1点でこの曲線に接するとします。このとき、ａの値を求めてください。