融合問題演習-いろいろな分野を含んだ問題-

融合問題について

入試問題には、各単元の単独の問題ももちろん出題されますが、さまざまな分野が絡み合った問題が結構あります。不等式と微積分や図形と極限や面積、体積、数列と図形の問題などがあります。

今回はこのような融合的な問題を取り上げて見ましょう。問題を見て、どういう手法を使うのかをよく見極めるようにしてください。問題は誘導などを省略している場合があります。真の実力をためしていただきたいためです。

融合問題演習

【問題1】
\(0<a<b≦π/2\)のとき、不等式 \(a/b<sina/sinb<π/2・(a/b)\) が成り立つことを証明してください。

【問題2】
m,nを自然数とするとき、\(m^n=n^m\)を満たす自然数の組(m,n)をすべて求めてください。

【問題3】
2直線l:y=-2/3x+2、m:y=xがあります。P1(0,2)とし、
P1を通りx軸に平行な直線と直線mとの交点をQ1
Q1を通りy軸に平行な直線と直線lとの交点をP2
P2を通りx軸に平行な直線と直線mとの交点をQ2
Q2を通りy軸に平行な直線と直線lとの交点をP3
以下同様にして、点Pn、Qn(n=1,2,3,・・・・・・・)とし、
また、点Pnのx座標をxn(n=1,2,3・・・・・)とします。

線分PnQnの長さをLnとするとき、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } L_n\) を求めてください。

【問題4】
正の実数a,b,cが、a+5b+7c=12を満たすとします。
\(\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}\) の最大値を求めてください。

【問題5】
n≧10の自然数のとき、\(2^n>n^3\) が成り立つことを証明してください。

【問題6】
aを定数とし、\(f(x)=x^4-x^3-3x^2\)とします。曲線y=f(x)に点(0,a)から接線がただ1本引けるとし、かつこの接線はただ1点でこの曲線に接するとします。このとき、aの値を求めてください。

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