群論－問題の解答編

群論について

群論については、歴史的な経緯やその定義について記述いたしました。問題をあげてありましたので、その解答を書いておきます。群論にテーマを求めた公立大医学部入試問題です。

問題の解答

問題は、下記のようなものでした。

【問題】

０でない複素数からなる集合Ｇは次を満たしているとします。Ｇの任意の要素ｚ、ｗの積ｚｗはＧに属します。

（１）ちょうどｎ個の要素からなるＧの例をあげてください。

（２）ちょうどｎ（ｎ≧２）個の要素からなるＧを求めてください。

（京都府立医大　入試問題）

【解答】

（１）ｎ個の集合Gの例は、$ｚ^n＝１$の解の集合が考えられます。$ｚ＝cosθ＋ｉsinθ$　とおけば、ド・モアブルの定理から、

$cos(nθ)＋ｉsin(nθ)＝１$　となります。従って $θ＝２π/ｎ$となります。よって、$α＝cos２π/ｎ＋ｉsin２π/ｎ$　とおけば、

$G$＝｛$1、α、α^{2}、･････････、α^{n-1}$｝となります。これは、複素平面上で半径１の円の円周のｎ等分点になります。

（２）$G＝｛ｚ1、ｚ2、････････、ｚn｝$ とします。ただし、$ｚ{i}（i＝1････、n）$は全て異なるものとします。$ｗ∈Gでｗ$を任意の要素とするとGの定義から、ｗｚi∈G　（i＝1、2,3、･･････、n）となり、相異なることになります。

従って、ｚ1・ｚ2･･･････ｚn＝ｗｚ1・ｗｚ2･･･････ｗｚn　となります。よって、ｚ1・ｚ2･･･････ｚn≠０より、$ｗ＾n＝１$となり、Gは$ｗ＾n＝１$の解の集合になりますから、Gは、（１）で求めた集合となります。すなわち、

G＝｛$1、α、α^2、･････････、α^{n-1}$}、$α＝cos２π/ｎ＋ｉsin２π/ｎ$ となります。

注意事項

（１）は群の例を求める問題ですが、いきなりｎ個の群を求めるのは厳しいかも知れません。ｎ＝３くらいであたりをつけて、ｎ個のものを考えた方がいいと思います。このときは、$ｚ＾3＝１$の集合で、｛$１、ω、ω＾2$｝となります。ω＝（－1±√3i)/2です。

下記に関連記事のリンクがあります。