群論－問題の解答編

群論について

群論については、歴史的な経緯やその定義について記述いたしました。問題をあげてありましたので、その解答を書いておきます。群論にテーマを求めた公立大医学部入試問題です。

問題の解答

問題は、下記のようなものでした。

【問題】

０でない複素数からなる集合Ｇは次を満たしているとします。Ｇの任意の要素ｚ、ｗの積ｚｗはＧに属します。

（１）ちょうどｎ個の要素からなるＧの例をあげてください。

（２）ちょうどｎ（ｎ≧２）個の要素からなるＧを求めてください。

（京都府立医大　入試問題）

【解答】

（１）ｎ個の集合Gの例は、\(ｚ^n＝１\)の解の集合が考えられます。\(ｚ＝cosθ＋ｉsinθ\)　とおけば、ド・モアブルの定理から、

\(cos(nθ)＋ｉsin(nθ)＝１\)　となります。従って \(θ＝２π/ｎ\)となります。よって、\(α＝cos２π/ｎ＋ｉsin２π/ｎ\)　とおけば、

\(G\)＝｛\(1、α、α^{2}、･････････、α^{n-1}\)｝となります。これは、複素平面上で半径１の円の円周のｎ等分点になります。

（２）\(G＝｛ｚ1、ｚ2、････････、ｚn｝\) とします。ただし、\(ｚ{i}（i＝1････、n）\)は全て異なるものとします。\(ｗ∈Gでｗ\)を任意の要素とするとGの定義から、ｗｚi∈G　（i＝1、2,3、･･････、n）となり、相異なることになります。

従って、ｚ1・ｚ2･･･････ｚn＝ｗｚ1・ｗｚ2･･･････ｗｚn　となります。よって、ｚ1・ｚ2･･･････ｚn≠０より、\(ｗ＾n＝１\)となり、Gは\(ｗ＾n＝１\)の解の集合になりますから、Gは、（１）で求めた集合となります。すなわち、

G＝｛\(1、α、α^2、･････････、α^{n-1}\)}、\(α＝cos２π/ｎ＋ｉsin２π/ｎ\) となります。

注意事項

（１）は群の例を求める問題ですが、いきなりｎ個の群を求めるのは厳しいかも知れません。ｎ＝３くらいであたりをつけて、ｎ個のものを考えた方がいいと思います。このときは、\(ｚ＾3＝１\)の集合で、｛\(１、ω、ω＾2\)｝となります。ω＝（－1±√3i)/2です。

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