美少女コンテストの問題

ミスコンではなく数学の問題

こう言う少し面白い数学の問題があります。

ミスコンテストを想像してください。世の中には様々なミスコンがあります。2010年代で一世を風靡したAKBの総選挙などもある意味でミスコンの一つなのかもしれません。ここでは全日本美少女コンテストを考えてみましょう。通常は複数の審査員の投票によるか、ファンであれば誰でも投票できる大規模な投票もありますが、ここでは、自分が投票するとすればどの女の子に投票するかの問題とします。また、投票にあたっては以下の条件に従うものとします。

１）自分が投票したい女の子の理想のイメージは決めてあるものとします。このイメージに一番近い女の子を選ぶ方法を考えるものとします。

２）コンテストに出場する女の子は、一人ずつ目の前を通るものとします。その女の子が希望に合えば終了です。

３）女の子が目の前を通り選択しないで次の女の子が来たら、前の女の子を選択はできないものとします。

さて、ここで問題です。このように複数の女の子が順番に目の前を通るとき、どのような方法をとれば、一番自分の理想の女の子を選ぶことができるでしょうか。これが問題です。

数学的な考察

この問題を数学的に考えてみます。女の子が　\(n\)　人いるものとします。そして次々に女の子が自分の前を通るのですが、その瞬間にYesかNoかを決めなければなりません。
\(n\)　人の女の子のうちに、\(i\)　番目に理想の女の子が通るものとします。これに最も近い女の子を選ぶ手順を探すことになります。\(r\)番目に理想の女の子が通る確率は、\(1/n\)　です。そこで選ぶ手順として　\(x\)　人目まで選択しないで、\(x+1\)　番目の女の子を選ぶ方法を考えます。ここで　\(x\)　は　\(1≦x≦n\)　の自然数とします。また、\(x+1\)人目に意中の人を選ぶ確率を　\(p_x\)　とすると

１）\(x≦i\)　の場合
\(p_x＝0\)　となります。
2）　\(x≧i+1\)　の場合
\(p_x＝x/(i－1)\)　です。

そこで、意中の女の子を選ぶすべての確率は、\(P(x)=1/n･\displaystyle \sum_{ i = x+1 }^{ n }x/(i-1)\)
=\(1/n･(x/x+x/(x+1)+･･･････+x/(n－1))\)　です。よって　\(P(x)\)　が最も大きくなる　\(x\)　の値を求めればいいことになります。\(y=1/t\)　における積分を考慮すれば、
\(\displaystyle \int_{x}^{n }･ 1/t dt＜P(x)＜\displaystyle \int_{x}^{ ｎ+1} 1/t･ dt\)･･････････①
①より、
\(i/n･log(n/r)＜P(r)＜r/n･log((n+1)/r)\)････････②
②の右辺は　\(x/n･log((n+1)/x)＝x/n･(log(x/n)+log((n+1)/n)=x/n･log(x/n)+x/n･log（1+1/n)\)　から

\(x/n･log(n/x<P(x)＜x/n･log(n/x)+x/n･log(1+1/n)\)････････③
が成り立ちます。

ここで　\(n\)　が十分大きい値であれば、③の両辺ともに、\(g(x)＝x/n･log(n/x)\)　に近づきます。
\(x\)　は離散的な自然数ですが、\(n\)　が大きいとき、実数と考えると、
\(g'(x)＝1/n･(log(n/x)－1)\)　となり　\(g'(x)＝0\)　のとき　\(ｘ＝n/e\)　となり、このとき　\(g(x)\)は　極大かつ最大となります。

従って、このような確率は、　\(n\)　が十分大きいという前提ですが、\(n/e\)　で最大値　\(1/e\)をとります。

(注）　あくまでも、大きな　\(n\)　に対するときの議論です。また、この問題は、「海辺の砂浜の美女問題」としても有名です。夏の砂浜で寝転んでいると、目の前を美女が歩いてきます。このなかで最も気に入った美女を選ぶにはどうすればいいか、という問題です。男女均等法のもとでは、女性の前をイケメン男性が歩く場合も考えなければいけませんね。（笑）