素数の問題－解答編－

素数についての問題

2018年の国立大学でも、素数に関する問題が出題されました。素数については、素数定理やこれに深い関係をもつゼータ関数に関す未解決のリーマン予想などがあります。素数を表す関数（式）の存在も検討されています。今回はこのような問題です。

【問題1】

\(n\)を自然数とするとき、式　\(n^３－7n+9\)　が素数になる\(n\)を全て求めてください。
(京都大学　2018)

【解答1】

今年の京都大学の問題です。少し、試してみると何をすべきなのか解ると思います。

\(f(n)＝n^３－7n+9\)　とおきます。
\(f(1)＝3、f(2)＝5、f(3)＝15＝3･5、f(4)＝45＝3^2･5\)　ですから、\(f(n)\)は\(3\)の倍数であり素数になるのは\(3\)であろうと予想されます。

そこで、\(n≧3\)で　\(n≡0,1,2　(mod3)\)で考えます。
(1)　\(n≡0　(mod3)\)のとき、\(n^3－7n+9≡0　(mod3)\)
(2)　\(n≡1　(mod3)\)のとき、\(n^3≡1、－7n≡－7≡－1、9≡0　(mod3)\)ですから\(f(n)≡0　(mod3)\)
(3)　\(n≡2　(mod3)\)のとき、\(n^3≡8≡2、－7n≡-14≡1、9≡0　(mod3)\)より\(f(n)≡3≡0　(mod3)\)

よって、\(f(n)\)は\(3\)の倍数であることがわかります。従って、\(f(n)＝n^３－7n+9\)が素数になるのは、\(n^３－7n+9＝3\)のときのみです。
\(f(n)＝n^３－7n+9＝3\)から、\(n=1,2,-3\)
以上より、\(f(n)＝n^３－7n+9\)が素数になるのは、\(n=1,2,-3\)

(注)　\(f(n)\)が\(3\)の倍数であることは、\(f(n)＝n^３－7n+9＝n^3-ｎ+3(-2n+3)\)から、容易に示すことが出来ます。

【問題2】

\(n\)を自然数とするとき、\(f(n)＝n^2+n+41\)　が素数となる\(n\)を求めてください。

【解答2】

この\(n\)の2次式\(f(n)\)を考えたのは、天才数学者オイラーです。素数を生成する式を考察していたときに、考えたものです。
直感的に\(n=41\)のときは、合成数であり、素数でないことはわかりますが、\(n=0～39\)までは、\(f(n)＝n^2+ｎ+41\)は全て素数となります。
\(41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,\)
\(313,347,383,421,461,503,547,593,641,691,743,797,853,\)
\(911,971,1033,1097,1163,1231,1373,1447,1523,1601\)

\(n≧42\)では、どうなるんでしょうか。