精選問題集その２－解答編－

精選問題集　その２

前回は、数ⅠＡを中心とした精選問題でしたが、今回は数ⅡＢを中心とした精選問題をこなしていきましょう。

精選問題

【問題1】

実数$x,y,z$のあいだに、$x+y+z=0$の関係があるとき、$x,y,z$のうち、少なくとも１つは$0$でないとすると、
$a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}＝3$　が成り立たないことを証明してください。
ただし、$a>0,a≠1$とします。

【解答１】

$a>0$だから、$a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}≧3\sqrt[3]{a^{3x}a^{3y}a^{3z}}=3$
等号が成り立つのは、$a^{3x}＝a^{3y}＝a^{3z}$のときで、$a≠1$だから、$x=y=z$です。
従って、$a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}＝3$　が成り立つなら、$x+y+z=0$から、$x=y=z=0$となり、
条件に反します。よって、背理法から、題意は成り立ちます。

【問題2】

$acosθ+bsinθ＝cos2θ,　asinθ-bcosθ＝2sin2θ$が成り立つとき、
$(a+b)^{2/3}+(a-b)^{2/3}$　は$θ$に無関係な一定値をとることを証明してください。

【解答2】

$acosθ+bsinθ＝cos2θ＝cos^2θ－sin^2θ$･････････①
$asinθ-bcosθ＝2sin2θ＝2sinθcosθ$･･･････････②
①、②より、$a,b$について解くと
$a＝cos^3θ+3sin^2θcosθ$
$b=－3sinθcos^2θ－sin^3θ$
よって、$(a+b)^{2/3}+(a-b)^{2/3}＝2(sin^2θ+cos^2θ)＝2$

【問題3】

$a_n＝1+1/2+1/3+････････+1/n－logn$とおくとき、数列${a_n}$は収束することが知られています。
この事実を用いて、
無限級数　$1-1/2+1/3-1/4+1/5-････････$　の和を求めてください。

【解答3】

$S_n＝1-1/2+･････････+(-1)^{n+1}1/ｎ$　とおきます。
$S_{2n}＝(1+1/2+･･･････+1/2n)－2(1/2+1/4+･･･････+1/2n)$
＝$a_{2n}－a_n+log2n－logn$
＝$a_{2n}－a_n+log2$

ここで、$a_n$は収束しますから、$ｎ→∞$のとき、$S_{2n}→log2$

一方、$S_{2n+1}＝S_{2n}+1/(2n+1)$より、$S_{2n+1}→log2$
従って、$1-1/2+1/3-1/4+1/5-････････＝log2$

（注）$γ＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+1/2+1/3+････････+1/n－logn)$　と書いてオイラーの定数と言います。
オイラー乗数の実態は、まだよく分かっていません。

【問題4】

$f(x)＝x^3－3abx－c$　において、$f(a)=f(b)＝f(c)＝0$のとき、$a,b,c$の値を求めてください。
ただし、$a≠0$で$a,b,c$は実数とします。

【解答4】

条件より、
$f(a)＝a^3-3a^2b－c＝0$････････①
$f(a)＝b^3-3ab^2－c＝0$････････②
$f(a)＝ｃ^3-3abc－c＝0$････････③
①－②　より、
$(a-b)^3=0$　よって、$a=b$
また、$c=-2a^3$
よって、$４ａ^6－3a^2－1=0$
$(a^2-1)(2a^2+1)^2＝0$より、$a=±1$
従って、$(a,b,c)＝(1,1，-2)(-1,-1,2)$