精選問題集その２－解答編－

精選問題集　その２

前回は、数ⅠＡを中心とした精選問題でしたが、今回は数ⅡＢを中心とした精選問題をこなしていきましょう。

精選問題

【問題1】

実数\(x,y,z\)のあいだに、\(x+y+z=0\)の関係があるとき、\(x,y,z\)のうち、少なくとも１つは\(0\)でないとすると、
\(a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}＝3\)　が成り立たないことを証明してください。
ただし、\(a>0,a≠1\)とします。

【解答１】

\(a>0\)だから、\(a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}≧3\sqrt[3]{a^{3x}a^{3y}a^{3z}}=3\)
等号が成り立つのは、\(a^{3x}＝a^{3y}＝a^{3z}\)のときで、\(a≠1\)だから、\(x=y=z\)です。
従って、\(a^{3x}+a^{3y}+a^{3z}＝3\)　が成り立つなら、\(x+y+z=0\)から、\(x=y=z=0\)となり、
条件に反します。よって、背理法から、題意は成り立ちます。

【問題2】

\(acosθ+bsinθ＝cos2θ,　asinθ-bcosθ＝2sin2θ\)が成り立つとき、
\((a+b)^{2/3}+(a-b)^{2/3}\)　は\(θ\)に無関係な一定値をとることを証明してください。

【解答2】

\(acosθ+bsinθ＝cos2θ＝cos^2θ－sin^2θ\)･････････①
\(asinθ-bcosθ＝2sin2θ＝2sinθcosθ\)･･･････････②
①、②より、\(a,b\)について解くと
\(a＝cos^3θ+3sin^2θcosθ\)
\(b=－3sinθcos^2θ－sin^3θ\)
よって、\((a+b)^{2/3}+(a-b)^{2/3}＝2(sin^2θ+cos^2θ)＝2\)

【問題3】

\(a_n＝1+1/2+1/3+････････+1/n－logn\)とおくとき、数列\({a_n}\)は収束することが知られています。
この事実を用いて、
無限級数　\(1-1/2+1/3-1/4+1/5-････････\)　の和を求めてください。

【解答3】

\(S_n＝1-1/2+･････････+(-1)^{n+1}1/ｎ\)　とおきます。
\(S_{2n}＝(1+1/2+･･･････+1/2n)－2(1/2+1/4+･･･････+1/2n)\)
＝\(a_{2n}－a_n+log2n－logn\)
＝\(a_{2n}－a_n+log2\)

ここで、\(a_n\)は収束しますから、\(ｎ→∞\)のとき、\(S_{2n}→log2\)

一方、\(S_{2n+1}＝S_{2n}+1/(2n+1)\)より、\(S_{2n+1}→log2\)
従って、\(1-1/2+1/3-1/4+1/5-････････＝log2\)

（注）\(γ＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+1/2+1/3+････････+1/n－logn)\)　と書いてオイラーの定数と言います。
オイラー乗数の実態は、まだよく分かっていません。

【問題4】

\(f(x)＝x^3－3abx－c\)　において、\(f(a)=f(b)＝f(c)＝0\)のとき、\(a,b,c\)の値を求めてください。
ただし、\(a≠0\)で\(a,b,c\)は実数とします。

【解答4】

条件より、
\(f(a)＝a^3-3a^2b－c＝0\)････････①
\(f(a)＝b^3-3ab^2－c＝0\)････････②
\(f(a)＝ｃ^3-3abc－c＝0\)････････③
①－②　より、
\((a-b)^3=0\)　よって、\(a=b\)
また、\(c=-2a^3\)
よって、\(４ａ^6－3a^2－1=0\)
\((a^2-1)(2a^2+1)^2＝0\)より、\(a=±1\)
従って、\((a,b,c)＝(1,1，-2)(-1,-1,2)\)