簡単なフェルマー問題　－バズーカ問題の解答－

フェルマーの定理に関する簡単な問題

フェルマーの最終定理を証明するのは、証明された今でもきわめて難しいものですし､n=3 の場合でさえ理解する事も難しい問題です。数学のバズーカでご紹介しフェルマーの定理のた特別な場合の問題は、大学入試問題としても適切だろうと思います。解答を書いておきますので、ご参考になれば幸いです。

「ｘ、ｙを自然数とし、ｐを素数とするときに、\(ｘ^3+ｙ^3＝ｐ^3\)　は、自然数解を持たないことを証明してください。」･･･①

フェルマーの定理では、\(ｘ^3+ y^3= z^3 \)となります。(x,y,z は自然数）この問題ができる人は、相当な実力を持っていると考えてもいいと思います。

問題①の考え方と解答

さて、①の問題ですが、右辺が、素数ｐの３乗になっているところが異なっていますが、これが問題を容易にしている条件になっています。

左辺を因数分解してみようと考えるのは自然な考え方です。\((ｘ+ｙ)(x^2 -xy +y^2) = p^3\)　････②　となります。

ここで、②の左辺は2つの式の積となっていますからこれが、\(p^3\)になればいいと考えます。
\((x^2 -xy +y^2)\) -(x +y) =\( (x -y)^2\) +xy – x – y = \((x -y)^2\) +(x -1)+(y -1) – 1 ･････　③　 となります。
また、ｘ≧ｙとしても一般性は失いません。この時明らかにｘ≧２、ｙ≧１　となりますから、③式は正となります。

従って、\(x^2 -xy +y^2 ＞x + y \)････④　となります。
そこで、②式を考えると、x +y ≧ 2 、p≧2 を考慮すると、pは素数ですから、\(x^2 -xy +y^2 =p^2\)　･･････⑤
x +y = p ･･･････　⑥
となります。

⑥式を⑤式に代入して整理すると、３xy＝0　となりますから、xy＝0となり、ｘ、ｙの少なくとも一方は、0になり、x､yが自然数である事に矛盾します。従って背理法により、①の命題は成り立つ事になります。

解法のキーポイント

因数分解と、素数の性質を上手く利用すれば割合簡単に証明できます。
④式を思いつくかどうかも、証明に成功するかどうかの分岐点になるように思います。