等式の証明－難関大・解答編－

難関大受験数学・等式の証明－解答編－

標準的な問題もありますが、これは計算を正確にやってみましょう。今回は、東工大、名工大、九工大の問題ですが、いずれも工科系の　難関大です。色々な別解も考えられると思いますが、別解を考えるのも難関大対応になるものと思います。解説等のリンクは次です。等式の証明

等式の証明の解答

【問題１】

\(αｘ+βｙ+γｚ＝0\)となる全ての実数\(x,y,z\)に対して、次の式が成り立つための必要十分条件を求めてください。ただし、\(αβγ≠0\)とします。\(ax+by+cz+d＝0\)　　（東工大）

【解答１】

ベクトルの内積とみて解いてみましょう。

\(\vec{ｘ}=(x,y,z),\vec{p}＝(α,β,γ),\vec{a}=(a,b,c)\)　とおくと
\(αβγ≠0だから、\vec{p}≠0\)ですから、

\(αｘ+βｙ+γｚ＝\vec{ a } \cdot \vec{ｘ }＝0\)となりますから、
\(\vec{p}⊥\vec{ a } または、\vec{ｘ }＝0\)です。

このような全てのベクトル\(\vec{ｘ }\)に対して、\(ax+by+cz+d＝\vec{ a } \cdot \vec{ｘ }+ｄ＝0\)　が成り立つためには、\(\vec{ｘ }＝0\)のときなりたたねばならないから、\(d=0\)
また、\(\vec{ｘ }≠0\)のときの成立条件から、\(\vec{p}⊥\vec{ a }\)　また、逆も成り立ちます、

よって、求める必要十分条件は、\(\vec{p} /\!/\vec{ a },d=0\)
すなわち、\(a:b:c=α:β：γ、d=0\)

【問題2】

\(a,b,c\)は正の数であって、その中の少なくともいつは１ではないものとします。
\(ａ^xｂ^yｃ^z＝ａ^ｙｂ^zｃ^y＝ａ^zｂ^xｃ^y＝1ならば、ｘ＝ｙ＝ｚまたは、ｘ+ｙ+ｚ＝0\)である事を証明してください。
（名工大）

条件の常用対数をとると、
\(xloga+ylogｂ+zlogc＝0\)･････････①
\(yloga+zlogｂ+ｘlogc＝0\)････････②
\(zloga+xlogｂ+ylogc＝0\)･･･････････③
①、②、③から、\(ａ,b,c\)を消去すると、\(ｘ^3+y^3+ｚ^3－3xyz＝0\)　となります。
\(1/2･(x+y+z)･((x-y)^2+(y-z)^2+(z-ｘ)^2)=0\)　から、
\(ｘ＝ｙ＝ｚまたは、ｘ+ｙ+ｚ＝0\)となります。(Q.E.D.)

【問題３】

\(a,b,c,d\)を実数とするとき、次の問いに答えてください。

(1)\(ａ^2－ｂｃ＝ｂ^2－cd＝ｃ^2－ｄａ＝d^2－ab\)･･････････①
が成り立つならば、\(a=b=c=d\)または、 \(a+b+c+d=0\)であ
る事を証明してください。

(2)\(ab(a+b)+cd(c+d)＝bc(b+c)+da(d+a)\)を証明してください。

【解答３】

(1)\(ａ^2－ｂｃ＝ｋ、ｂ^2－cd＝ｋｃ^2－ab＝ｋ\)とおき、各式に
それぞれ\(b,c,d,a\)をかけて、加えると\((a+b+c+d)k＝0\)
よって、\(a+b+c+d=0またはｋ＝0\)　\(k＝0のときは、\)
①の各辺の和をとると、
\(ａ^2－ｂｃ+ｂ^2－cd+ｃ^2－ｄａ+d^2－ab\)
＝\(1/2･((a－ｂ)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2)=0\)
から、\(a=b=c=d\) となります。

(2)　原式の両辺の差をとり、\(P\)とすると、 \(P=(b-d)(a-c)(a+b+c+d)＝0\)よって、原式は成り立ちます。