空間図形・対数関数－解答編

空間図形・対数関数の演習

【問題1】

\(4\)点　\(O(0,0,0)、A(3,0,0)、B(0,6,0)、C(0,0,9)\)を頂点とする四面体に内接する球の体積を求めてください。また、球の中心と半径を求めてください。

【解答１】

球の半径を\(r\)とすると、
\((x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2＝r^2\)
また、4面体の体積を、\(V\)とすると、\(V=1/3･r(△OBC+△OCA+△OAB+△ABC)\)･････････①
\(C\)から、\(AB\)に下ろした垂線の足を\(H\)とすると、\(OH⊥AB\)　であり、\(AB=3\sqrt{5}\)　から　\(OH=6/\sqrt{5}\)
よって、\(CH＝21/\sqrt{5}\)　従って、\(△ABC＝63/2\)
①から、\(V=27r\)　一方　\(V=1/3･OC･△OAB＝27\)　よって、\(r=1\)
\(中心：　(1,1,1)、半径：　１、体積　4π/3\)

【問題2】

\(f(x)＝\vert　logx　\vert\)とし、\(f((a+b)/2)＝1/2・f(a)=1/2・f(b)\)を満たすとします。このとき、\(3<b<4\)を満たす\(b\)が少なくとも１つ存在することを示してください。

【解答2】

\(y=\vert　logx　\vert\)　は、\(0<x<1\)で単調減少、\(x>1\)で単調増加します。
従って、\(f(a)＝f(b)\)すなわち　\(\vert　loga　\vert＝\vert　logｂ　\vert\)で\(0<a<b\)ならば、\(0<a<1<b\)となります。
よって、\(\vert　loga　\vert＝\vert　logｂ　\vert\)　⇔　\(－loga＝logb\)　ですから、\(ab=1\)･･･････①
また、\(a,b>0、a≠ｂ\)だから　\(a+b>2\sqrt{ab}＝2\)
よって、\((a+b)/2>1\)　であり\(２･f((a+b)＝2･log(a+b)/2\)　となり条件式より、\(2log(a+b)/2＝logb\)
そこで、\(((a+b)/2)^2＝ｂ\)･･･････②
①、②から　\(b^4－４b^3+2b^2+1＝0\)　⇔　\((b-1)(b^3-3b^2-ｂ-1)＝0\)
ここで、\(g(x)＝b^3-3b^2-ｂ-1\)とおくと、\(g(3)＝-4＜0、g(4)＝11＞0\)
従って、\(g(b)=0\)　は、\(3<b<4\)の間に少なくとも１つの解を持ちます。