積分計算の問題－解答編－

難関大の積分計算

難関大学の数学の問題では、数学Ⅲの微積分がかなりの確率で出題されます。積分は計算が面倒ですが、しっかりと積分の練習をやってみましょう。

積分計算の問題

【問題1】

\(\displaystyle \int_{0}^{π}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx\)
（教養レベル）

【解答１】

\(\displaystyle \int_{0}^{π}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx\)
＝\(\displaystyle \int_{0}^{π/2}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx+\displaystyle \int_{π/2}^{π}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx\)
とし、後半の積分に、\(x=π－t\)と置換すると
\(\displaystyle \int_{π/2}^{π}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx＝－\displaystyle \int_{π/2}^{0}(π－t)sint)/(1+cos^2t)･dt\)
＝\(－\displaystyle \int_{0}^{π/2}(tsint)/(1+cos^2t)･dt+π\displaystyle \int_{0}^{π/2}sinx/(1+cos^2t)･dt\)
よって、
\(\displaystyle \int_{0}^{π}(xsinx)/(1+cos^2x)･dx＝π\displaystyle \int_{0}^{π/2}sint/(1+cos^2t)･dt\)
＝\(－π\left[ \arctan(cost) \right]_0^{π/2}＝π^2/4\)

【問題2】

\(\displaystyle \int_{0}^{1}log(1+x)/(1+x^2) dx\)
（教養レベル）

【解答2】

\(x=tanθ\)とおくと、\(０≦x≦1\)に、\(0≦θ≦π/4\)が対応します。
\(dx/(1+x^2)=dθ\)だから、
\(\displaystyle \int_{0}^{1}log(1+x)/(1+x^2) dx＝\displaystyle \int_{0}^{π/4}log(1+tanθ) dθ\)
＝\(\displaystyle \int_{0}^{π/4}log{\sqrt{2}cos(π/4－θ)/cosθ} dθ\)
＝\(log\sqrt{2}\displaystyle \int_{0}^{π/4} dθ+\displaystyle \int_{0}^{π/4}logcos(π/4－θ) dθ－\displaystyle \int_{0}^{π/4}logcosθdθ\)
第2の定積分は、\(π/4－θ＝φ\)と置き換えると、\(\displaystyle \int_{0}^{π/4}logcosφ dφ\)となり、第3の定積分と打ち消しあいます。
よって、\(\displaystyle \int_{0}^{1}log(1+x)/(1+x^2) dx＝log\sqrt{2}\displaystyle \int_{0}^{π/4} dθ\)
＝\(π/8･log2\)　となります。

【問題3】

次の３つの条件を満たす3次の多項式\(f(x)\)を求めてください。
（１）多項式\(g(x)\)の次数が\(2\)を越えなければ、どのような多項式であっても次式が成り立つ。
\(\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)g(x) dx＝0\)
（２）\(\displaystyle \int_{-1}^{1}{f(x)}^2 dx＝1\)
（３）\(f(1)>0\)
（東京大学）

【解答3】

とにかく、計算しましょう。

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d　(a≠0)\)　、\(g(x)＝px^2+qx+r\)とおくと、条件(1)から、
\(\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)g(x) dx＝2/15･{(3b+5d)ｐ+(3a+5c)q+5(b+3d)r}=0\)
となります。これが、\(p,q,r\)のいかんに関わらず成り立つ必要十分条件は、
\(3b+5d＝0････①　3a+5c＝0･･････②　b+3d=0･･････③\)
①、③から、\(b=d=0\)　　②から、\(c=-3/5a\)
従って、\(f(x)＝a/5(5x^3－3x)\)
よって、\(\displaystyle \int_{-1}^{1}{f(x)}^2 dx＝2a^2/25･\displaystyle \int_{0}^{1}{(25x^6-30x^4+9x^2)} dx\)
＝\(8a^2/175=1\)
これより、\(a^2＝175/8\)ですから、\(a＝±5\sqrt{14}/4\)となります。
（３）より\(a>0\)から、\(a＝5\sqrt{14}/4\)
従って、\(f(x)＝\sqrt{14}/4･(5x^3－3x)\)