積分法－問題の解答

積分法に関して

通常の積分法（リーマン積分）に関しては、以前説明してきました。ここでは、その時に提示した問題の解答を書いておきますので、参考にしてください。

問題は次のものです。

【問題】

ｘｙｚ空間において、

\(ｙ^2＋ｚ^2≦１、ｘ^2+ｚ^2≦１、ｘ^2+ｙ^2≦１\)　をすべてみたす点全体からなる立体の体積を求めてください。（東大他）

問題の解答

このような問題は、切断面を考えて積分するのが普通です。計算はやや面倒ですが、正確な計算力が求められます。

\(ｙ^2＋ｚ^2≦１\)･････････①

\(ｘ^2+ｚ^2≦１\)･･････････②

\(ｘ^2+ｙ^2≦１\)･･････････③

ｚ＝ｔ（０≦ｔ≦１）とすると、①から、

－\(\sqrt{１－ｔ＾2}≦ｙ≦\sqrt{１－ｔ＾2}\)　となります。また②より、

－\(\sqrt{１－ｔ＾2}≦ｘ≦\sqrt{１－ｔ＾2}\)　となります。

これより、①、②の共通部分をｚ＝ｔで切った切り口の断面は、１辺の長さが、2√(１－ｔ＾2）の正方形となります。これと、③の円柱をｚ＝ｔで切ったものとの共通部分が、①、②、③の共通部分の立体Ｔをｚ＝ｔで切った切り口の断面積Ｓ(t)となります。

従って、

（１）１/√２≦ｔ≦１の時は,Ｓ(t)＝\((２\sqrt{１－ｔ^2}＾2）＝４(1-ｔ＾2）\)

（２）０≦ｔ≦１/√２の時は、Ｓ(t)は、正方形と円との共通部分となりますから、（図形を書いてみると分かります。）ｔ＝sinθ（０≦θ≦π/4）とおくと、Ｓ(t)＝π・１＾2－４（1/2・１＾2・２θ－1/2・1・1・sin2θ）＝π－４θ＋４sinθ・cosθ　となります。従って

Ｔの体積Ｖは、（１）と（２）の和ですから、対称性を考慮すると

（１）の時、８∫(1/√2～1)（１-ｔ＾2）ｄｔ＝１６/３－５√２/３

（２）の時、２∫(0～π/4)(π－４θ＋４sinθ・cosθ）･cosθ・ｄθ

＝２π∫cosθｄθ－８∫θ・cosθ･ｄθ+８∫cos＾2θ・sinθ・ｄθ

（積分区間は省略しています。）

＝３２/３－１４√２/３

よって、Ｖ＝(１６/３－５√２/３)＋(３２/３－１４√２/３）

＝１６－８√２　････（答）

関連記事は、下記にあります。