積分で表された関数-積分関数の解き方-

積分関数について

定積分の上端、下端およびその両端が、独立変数xで表された関数を積分関数といいます。例えば、積分で表された F(x)=∫(0~x)f(t)dt のように表される関数です。f(x)はある区間で微分可能としますが、定義からF’(x)=f(x)・・・・①が成り立ちます。このように積分で定義される関数は、よく微積分の問題として出題されます。

積分関数の問題例

【問題1】

関数f(x)を f(x)=\(∫(0,x)1/(1+t^2)dt\) で定めます。

(1)y=f(x)のx=1における法線の方程式を求めてください。

(2)(1)の法線とx軸およびy=f(x)で囲まれる部分の面積を求めてください。(京都大学)

【問題2】

f(x)は全ての実数xで定義され、正の値をとる連続関数であるとします。g(x)=∫(0,x)f(t)dt、\({f(x)}^2-{g(x)}^2=1\) を満たすとします。

(1) F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)-g(x) とするとき

d/dx{F(x)}=F(x)、d/dx{G(x)}=-G(x) となることを証明してください。

(2) f(x)を求めてください。 (大阪大学)

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