確率の問題の解答

確率の問題は2次試験の問題にもよく出題されます。ここでは、確率の問題で腕慣らしをしておきましょう。

確率の問題

【問題1】

\(a\)個の白球と\(b\)個の赤球が入っているつぼが\(n\)個あるものとします。第１のつぼから1個の球を取り出し第２のつぼにいれます。以下同様の操作を続けて第\(n\)のつぼに1個の球をいれます。最後に第\(n\)のつぼから取り出された球が白球である確率を求めてください。ただし、つぼから各球は等しい確率で取り出されるものとします。
（九州大）

【解答1】

第1のつぼから、白球の出る確率、赤球が出る確率は、それぞれ　\(a/(a+b)、b/(a+b)\)となります。第2のつぼから白球の出る確率は、
\(a/(a+b)･(a+1)/(a+b+1)+b/(a+b)･a/(a+b+1)＝a/(a+b)\)　すなわち第２のつぼから白球ガ出る確率は第1のつぼから白球が出る確率と等しくなります。
したがって、帰納的に、第ｎのつぼから白球が出る確率は、\(a/(a+b)\)　となります。

(注）結果が興味深い有名問題です。

【問題2】

さいころを\(n\)回投げるとき、\(k\)回目に出る目の数を、\(N_k\)とし、\(L_n＝N_1+N_2+･･･････+N_n\)とします。\(L_n\)が\(7\)で割り切れる確率を、\(p_n\)とします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } p_n\)を求めてください。
（京都大）

【解答2】

\(L_n\)が\(7\)で割り切れるのは、\(L_{n-1}\)が\(7\)で割り切れるときは、\(N_n\)がとりうる目はありません。また、\(L_{n-1}\)が\(7\)で割り切れないときは、\(L_{n-1}≡1,2,3,4,5,6　(mod7)\)に対して、\(L_n\)が\(7\)で割り切れるような\(N_n\)が１つずつっ存在します。
よって、\(p_n＝p_{n-1}･0+(1－p_{n-1})･1/6＝-1/6･p_{n-1}+1/6\)　となります。
これから、\(p_n＝1/7･(1－(1/6)^{n-1}\)　　よって、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } p_n＝1/7\)