直前演習－解答－

問題解答編

【問題1】

だ円\(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)　\((a,b>0)\)上の点　\(P(x,y)\)とし、媒介変数\(u\)を使って
\(x=acosu、y=bsinu\)　\((0≦u<2π)\)で表します。
\(t\)を時間とし、\(P\)は　\(t=0\)のとき　\((a,0)\)　その後このだ円上を反時計周りの方向に
動くものとします。
時刻\(t\)　\(t>0)\)までに線分\(OP\)の通過した部分の面積を、\(S\)とします。
常に\(dS/dt＝1\)　であるとき、\(uをt\)の式で表してください。
（京都大学）

【解答1】

\(P(x,y)\)が第1象限とすると、
\(S=1/2･xy－\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)＝1/4･absin2u+ab\displaystyle \int_{0}^{u} sin^2udu\)
これは、他の象限でも同様です。

よって、\(dS/dt=ab/2･du/dt\)　　ここで、\(dS/dt＝1\)より、\(du/dt＝2/ab\)

【問題2】

区間\(a≦x≦b\)で定義されている関数\(f(x)\)が、\(f(x)>0\)、\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt=1\)を満たしています。

区間\(a≦x≦b\)において、\(h(x)＝\displaystyle \int_{a}^{b}\vert　t-x　\vert f(t) dt\)を最小にする\(x\)の値を\(c\)とするとき、
\(\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) dt\)の値を求めてください。
（千葉大改)

【解答2】

\(h'(x)＝２\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt－\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt\)
また、\(f(t)>0\)から、\(a≦x≦b\)で\(h'(x)\)は増加関数。\(h(a)<0,h(b)>0\)より
\(a<c<b\)に\(h’c)=0\)となる\(c\)が存在します。
よって、\(h'(c)＝２\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) dt－\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt=0\)から
\(\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) dt＝1/2･\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt＝1/2\)

【問題3】

\(\displaystyle \int_{-π/4}^{π/4} sin^2x/(1-e^{-x})dx\)　を求めてください。
（慶応大医）

【解答3】

簡単な計算から、\(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dt＝\displaystyle \int_{0}^{a}( f(x)+f(-x)） dx\)

よって、\(\displaystyle \int_{-π/4}^{π/4} sin^2x/(1-e^{-x})dx＝\displaystyle \int_{0}^{π/4} (sin^2x/(1-e^{-x})+sin^2x/(1+e^x）)dx\)
＝\(\displaystyle \int_{0}^{π/4} sin^2xdx＝π/8－1/4\)