直交関数と３角関数

直交する関数

区間を[-π､π] においての議論とします。一般に言って、関数f(x)、g(x)が、\(\int_a^b f(x)g(x) dx\)=0 を満たす時、f(x)とg(x)は直交すると考えます。これは、ベクトル\(\vec{ a }\) と\(\vec{ b}\)　が、内積　\(\vec{ a } \cdot \vec{ b }\)=0が成り立つなら、２つのベクトルが直交するという考え方と同じような考え方です。以下、積分における関数の直交関係を考えますが、区間は、[-π､π] であるとします。これらの議論は、Fourier級数に通じるものです。

直交関数の例

m,nを自然数とします。Im,n=\(\int_{-π}^{π}\sin mx sin nxdx\),Jm,n=\(\int_{-π}^{π}\cos mx cos nxdx\), Km,n=\(\int_{-π}^{π}\cos mx\sin nxdx\) とします。Im,n、Jm,n、Km,n　の値を求めてください。

【解答】Im,n＝\(\int_{-π}^{π}(cos (m-n)x-cos(m+n)x)･dx\)となりますから、m≠nならIm,n=0、m=nなら、Im,n=π　となります。同様にしてJm,n、Km,nも容易に計算できます。

直交関数に関する問題

【問題１】

n=1,2,3･････に対して、an=\(\int_{-π}^{π}(xsin nx)\), In=\(\int_{-π}^{π}(πx-\sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\sin nx))^2dx\) と定義します。

（１）n=2,3,4･･････に対して、In-In-1　をnを用いて示してください。

（２）n=1,2,3,･･･････に対して、\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\)≦\(π^2/6\) を示してください。

【問題２】

mを自然数として、tをltl<1を満たす実数とします。関数f(x)=1-\(2tcosx\) +\(t^2\) とします。

（１）定積分 \(\int_{0}^{π}\frac{cos mx}{f(x)}dx\) の値を求めてください。