理系数学演習－解答編－

理系数学問題演習

理系の数学では、数Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、B　が範囲になりますが、国立大学ではほとんど　\(5割\)　程度数Ⅲの範囲の問題になります。私立大学もいわゆる難関大では数Ⅲの比率がおおくなります。国立では2次試験はほぼ記述式、私立大学では、ほとんどの大学がマーク式です。私立であっても数学の問題演習は、記述式の問題で演習すべきです。記述問題をしっかりやっていれば、マーク式は易しい問題だからです。極限、微積分、複素数平面、2次曲線をしっかりやりましょう。

理系問題演習

【問題１】

正の数　\(p\)　があって、その小数部分を　\(q\)　とします。
\(p^3+q^2＝6p\)　であるとき　\(p\)　の値を求めてください。

【解答1】

題意より、\(0≦q^2＜1\)　･･･････････①
また、\(q^2＝6p－p^2\)

よって、\(0＜ｐ＜3－\sqrt{3}　3+\sqrt{3}＜ｐ\)　････････②
また　\(0<p≦6\)･･･････････③
②、③　の共通部分を取り
1）0＜ｐ＜3－\sqrt{3}\)　のときは
\(p=q\)　であり　\(P=0,3\)
2)　\(3+\sqrt{3}＜ｐ≦6\)　の時は
従って、\(p\)　の整数部分は　\(5,6\)　です。
よって、\(p\)　の整数部分が　\(5\)　のとき　\(2p^2－16ｐ+25=0\)
これより、②を満たすのは、\(p=(8+\sqrt{14})/2\)
また、\(p\)　の整数部分が　\(6\)　のときは、\(q=0,p=6\)

従って、\(p=(8+\sqrt{14})/2、6\)

【問題2】

\(f(x)＝\vert logx\vert　\)　とします。
\(２･f((a+b)/2)＝f(a)=f(b)\)　となる関係を満たすとすれば、\(3<b<4\)　を満たす実数　\(b\)　が少なくとも１つ存在することを示してください。
ただし、　\(0<a<b\)　とします。

【解答2】

\(y＝\vert logx \vert\) は　\(0<x<1\)　のとき単調減少、\(x>1\)　では単調増加です。
従って、\(f(a)＝f(b)\)　から、
\(\vert loga\vert＝\vert logｂ\vert\)　でかつ　\(0<a<1<b\)
よって、\(－loga＝logb\)　から、\(logab＝0⇔ab＝1\)
また、\(a,b>\)　だから、\(a+b＞2\sqrt{ab}＝2\)

\(2･f((a+b)/2)＝2\vert log(a+b)/2 \vert =2log(a+b)/2\)
よって、2･f((a+b)/2)＝f(b)\)　だから
\(2･log(a+b)/2＝logb\) ⇔( (a+b)/2)^2＝b\)

これから、
\((b-1)(b^3-3b^2-ｂ-1）＝0\)
\(b>1\)　より　\(g(b)＝(b^3-3b^2-ｂ-1）＝0\)
さらに、\(g(3)=-4<0\)　\(g(4)＝11>0\)
従って、\(g(b)=0\)　は、\(3<b<4\)　の間に少なくとも１つの解をもちます。

【問題3】

(1)　\(0<x＜π/2\)　のとき、\(sinx＜ｘ＜tanx\)　が成り立つことを証明してください。
(２）次の不等式を証明してください。
\(\displaystyle \sum_{ ｋ= 1 }^{∞} sin^2π/2^k＜π/3･\displaystyle \int_{ 0 }^{ 2π } \vert sinx\vert dx\)

【解答3】

(1)　直角三角形を書き面積を比較すれば、不等式が得られます。
(2)　(1)　に　\(x=π/2^k　(k=1,2,･･･････）\)　を代入すると
\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } sin^2π/2^k＜π^2\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } 1/4^k\)
\(＜π^2\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ ∞ } 1/4^ｋ＝π^2/3\)
一方　\(\displaystyle \int_{0}^{2π} \vert sinx\vert  dx=4\)

よって、\(\displaystyle \sum_{ ｋ= 1 }^{∞} sin^2π/2^k＜π/3･\displaystyle \int_{ 0 }^{ 2π } \vert sinx\vert dx\)

【問題4】

3次曲線　\(y=f(x)＝ax^３+bx^2+cx\)　\((ab≠0)\)　に原点から接線　\(l_1\)　をひいて、その接点を　\(P_1(x_1,y_1)\)　とします。
\(P_1\)　から　\(y=f(x)\)　に接線　\(l_2\)　をひき　接点を　\(P_2(x_2、y_2)\)　とし、以下同様に点列　\(P_1,P_2、･･･････、P_n\)　を作ります。
このとき、点列の　\(n→∞\)　の極限の位置の座標を求めてください。但し　点列はすべて異なるものとします。

【解答4】

\(y=f(x)＝ax^３+bx^2+cx\)　から、\(f'(x)＝3ax^2+2bx+c\)
よって、\(P_n(x_n,y_n)\)　の　\(y=f(x)\)　に引いた接線の方程式は、
\(y=(3ax_n^2+2bX_n+c)ｘ－(2ax_n^2+ｂx_n^2)\)
これと、\(y=f(x)\)　を連立させ、\(x\)を求めると、\(x=－2x_n－b/a\)　となり、題意から、
これが、\(x_{n-1}\)　となります。
よって、\(x_n＝－1/2･x_{n-1}－b/2a\)
これから、\(x_n+b/3a＝－1/2(x_{n-1}+b/3a＝(-1/2)^{n-1}(x_1+b/3a)\)

また、\(x_1=－b/2a\)　だから、\(x_n＝b/3a((-1/2)^n－1)\)
従って、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_n = －b/3a\)

よって、点列は、\((－b/3a、ｂ/27a^2(2b^2－9ac))\)　に近づきます。

 

【問題5】

\(xy\)　平面で　\(y=\sqrt{ｘ+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt{ｘ－\sqrt{x^2+1}}\)　のグラフと
放物線　\(x=y^2+1\)　と　\(x軸\)　で囲まれる部分の面積を求めてください。

【解答5】

\(y\)　を\(x\)　で表し面積を求めてもできますが、変数変換し　\(x\)　ではなく、\(y\)　で積分するのがやりやすいです。

（略解）\(u=\sqrt{ｘ+\sqrt{x^2+1}}\)　\(v=\sqrt{ｘ－\sqrt{x^2+1}}\)　とおくと
\(u^3+v^3＝2x、uv＝-1\)
\(y=u+v\)だから、両辺を3乗して、上式を使うと
\(x=1/2･y^3+3/2y\)
よって、　\(y\)　で積分すると　面積は、\(11/24\)