理系数学演習－解答編－

理系数学演習

2019年の国公立大学入試ももうすぐとなりました。今回は理系数学として、問題演習をやって見ましょう。

理系数学問題

まず略解をしめします。

【問題１】

次の定積分の値を求めてください。

\(\displaystyle \int_{0 }^{π} ｘe^xsinx dx\)

（東工大）

【解答1】

\(((π－1)e^π－1)/2\)

【問題2】

\(x\)に関する２つの関数　\(y_1=x^2\) と \(y_2＝ax+b\)があります。
\(0≦ｘ≦2\)の範囲において、\(\vert y_2－y_2 \vert\)　の最大値を最小にするような係数\(a,b\)を求めてください。

（京都大学）

【解答2】

\(a=2，b=－1/2\)

【問題３】

相異なる３つの複素数があります。このうちから重複を許してとったどの２つの積も、これらの３つの数のどれかです。
3数の組を求めてください。

（東工大）

【解答3】

\((0,1,-1)、(1、(-1+\sqrt{3}i)/2、(-1-\sqrt{3}i)/2)\)

【問題４】

\(2n\)個の整数があるとします。これらを\(n\)個ずつの2組に分けるとき、どのように分けても各組の数の和のあいだの差は\(n\)より小さいとします。
このとき、\(2n\)個の整数のうち、等しいものが少なくとも　\(n+1\)　個あることを証明してください。

（名古屋大）

【解答4】

\(2n\)個の整数を　\(x_1≦x_2≦･････････≦x_{2n}\)とします。
このとき、これらを２組に分けたときに、そのおのおのの組の和の差が最も大きくなるのは、

\((x_1、x_2、････････、x_n)\)　と　\((x_{n+1}、x_{n+2}、･･････････、x_{2n})\)
の２つに分けたときで

\(P=(x_{n+1}+x_{n+2}、･･････････、x_{2n})－(x_1+x_2+････････+x_n）\)
＝\((x_{n+1}－x_1）+･･･････････+(x_{2n}－x_n)\)
であり、各項は全て負でありません。
また、全て\(1\)以上だとすると\(P≧n\)となり題意に反します。
よって、\(x_{n+i}＝x_i\)となる\(i\)が少なくとも１つ存在します。

従って、\(x_i≦x_{i+1}≦･････････≦x_{i+n}\)から、
\(x_i＝x_{i+1}＝･･････････＝x_{i+n}\)となり、\(2n\)個の整数の中には等しいものが少なくとも\(n+1\)個存在します。