理系数学問題演習
理系数学問題演習
理系の数学では、数Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、B が範囲になりますが、国立大学ではほとんど \(5割\) 程度数Ⅲの範囲の問題になります。私立大学もいわゆる難関大では数Ⅲの比率がおおくなります。国立では2次試験はほぼ記述式、私立大学では、ほとんどの大学がマーク式です。私立であっても数学の問題演習は、記述式の問題で演習すべきです。記述問題をしっかりやっていれば、マーク式は易しい問題だからです。極限、微積分、複素数平面、2次曲線をしっかりやりましょう。
理系問題演習
【問題1】
正の数 \(p\) があって、その小数部分を \(q\) とします。
\(p^3+q^2=6p\) であるとき \(p\) の値を求めてください。
【問題2】
\(f(x)=\vert logx\vert \) とします。
\(2・f((a+b)/2)=f(a)=f(b)\) となる関係を満たすとすれば、\(3<b<4\) を満たす実数 \(b\) が少なくとも1つ存在することを示してください。
ただし、 \(0<a<b\) とします。
【問題3】
(1) \(0<x<π/2\) のとき、\(sinx<x<tanx\) が成り立つことを2つ以上の方法で証明してください。
(2)次の不等式を証明してください。
\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{∞} sin^2π/2^k<π/3・\displaystyle \int_{ 0 }^{ 2π } \vert sinx\vert dx\)
【問題4】
3次曲線 \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx\) \((ab≠0)\) に原点から接線 \(l_1\) をひいて、その接点を \(P_1(x_1,y_1)\) とします。
\(P_1\) から \(y=f(x)\) に接線 \(l_2\) をひき 接点を \(P_2(x_2、y_2)\) とし、以下同様に点列 \(P_1,P_2、・・・・・・・、P_n\) を作ります。
このとき、点列の \(n→∞\) の極限の位置の座標を求めてください。但し 点列はすべて異なるものとします。
【問題5】
\(xy\) 平面で \(y=\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt{x-\sqrt{x^2+1}}\) のグラフと
放物線 \(x=y^2+1\) と \(x軸\) で囲まれる部分の面積を求めてください。