理系問題演習

理系問題演習

いよいよ、入試まであと少しです。今まで培った力を試すときです。むやみに新しい問題集に手を出すのではなく、今までやった問題の復習に力を入れていきましょう。

【問題1】

複素数　\(α＝(－1+\sqrt{3})/2\)　に対して

\(S_n＝\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } α^{k-1}、T_n＝\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } kα^{n-1}\)　とおきます。但し、\(α^0=1\)　とします。

(1)　\(S_{3m}　(ｍ＝1,2,3･･･････)\)　を求めてください。
(2)　\(T_{3m}　(m=1,2,3、････････\)　を求めてください。
(3)　\(T_{2020}\)　を求めてください。

【解答１】

（１）\(α＝(－1+\sqrt{3})/2\)　より、容易に　\(α^3＝1\)
\(S_n＝(1-α^ｎ)/(1-α)\) より　\(S_{3m}＝0\)

(2) これも等比数列の和の応用から、容易に
\((1-α)T_n=S_n-nα^ｎ\)
よって、\(T_{3m}=－(3+\sqrt{3}i/2)m\)

（３）\(2019=3 x673\) だから、
\(T_2020＝－(3+\sqrt{3})/2・673+(2019０・￥xα^{3})^{2020}\)
＝\(－(3+\sqrt{3}・i)/2・673+2020・(α^3）^{673}\)
＝\((2021－673・\sqrt{3}・i)/2\)

【問題2】

3次関数　\(f(x)＝x^3－ax－b\)　について考えます。

(1)　\(a>0\)　のとき、\(y=f(x)\)　の極大値と極小値を求めてください。
(2)　次の　\((ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ）\)　を示してください。
(ⅰ）\(27b^2－4a^3>0\)　のとき、3次方程式　\(f(x)＝0\)　はただ１つの実数解をもつ。
(ⅱ)　\(27b^2－4a^3=0　かつ　a＞0\)　のとき、\(f(x)=0\)　は異なる2実数解をもつ。
(ⅲ)　\(27b^2－4a^3<0\)　のとき、\(f(x)=0\)　は異なる3実数解をもつ。

【解答2】

\(f'(x)＝3x^2－a\)
\(a>0\)　だから、増減表から、\(ｘ＝－\sqrt{a/3}\)　で極大、\(x=\sqrt{a/3}\)　で極小値をとります。

よって、極大値は、\(－ｂ+2\sqrt{3}・a\sqrt{a}\)　極小値は、\(－ｂ－2\sqrt{3}・a\sqrt{a}\)

【問題3】

関数　\(f(x)\)　を次の積分で定義します。

\(f(x)＝\displaystyle \int_{x}^{ｘ+\log 2} \vert e^{2t}－e^ｔ－2 \vert dt\)

(1)　\(f(x)\)　を求めてください。
(2)　\(y=f(x)\)　が極値をとる　\(x\)　の値を求めてください。

【問題4】

\(O\)　を原点とする座標平面上に
放物線　\(C_1:y=x^2\)　円\(C_2：x^2+(y-a)^2＝1　(a≧0)\)　がある。

\(C_2\)上の点　\((0,a+1)\)　における接線と　\(C_1\)　が2点　\(A,B\)　で交わり、\(△OAB\)　が　\(C_2\)　に外接しています。
(1)　\(a\)　をも求めてください。
(2)　点　\((s,t)\)　を　\((－1、1)、(1，ａ）、（０，ａ－１）\)　と異なる　\(C_2\)上の点とします。\(s,t)\)　における\(C_2\)　の接線と　\(C_1\)との2つの交点を、\(P(α、α^2),Q(β、β^2)\)　とします。
このとき、\((α－β)^2－α^2β^2\)　は　\(s,t\)　によらない一定の定数であることを示してください。
(3)　(2)において、\(P(α、α^2)\)　から\(C_2\)への２つの接線が再び　\(C_1\)　と交わる点を　\(Q,R\)　とします。直線　\(QR\)　は、\(C_2\)と接することを示してください。