無限にひろがる範囲の面積

無限に広がる図形

不連続点をもつ関数の定積分について考えてみましょう。

例えば、\(y=1/\sqrt[3]x^2\)という関数を考えてみましょう。この関数は、\(x=0\)で不連続です。

この関数の低積分　\(I=y=\displaystyle \int_{-1}^{1} 1/\sqrt[3]x^2dx\) は、

\(I=\displaystyle \int_{-1}^{-0 } f(x) dx+\displaystyle \int_{+0}^{-01} f(x) dx\)ですが、
これは、\(ε_1,ε_2>0\)を考えて、不連続点\(x=0\)の\(-ε_1からε_2\)の範囲を除いて積分します。

\(S(ε_1,ε_2＝\displaystyle \int_{-1}^{-ε_1 }\sqrt[3]x^2dx  dx+\displaystyle \int_{ε_2}^{1}\sqrt[3]x^2dx  dx\)
とすると、\((ε_1,ε_2)→(0,0)\)で\(S(ε_1,ε_2)\)

が存在するとき、その定積分と定義します。

実際、\(S(ε_1,ε_2)＝3(2－\sqrt[1/3]ε_1－\sqrt[1/3]ε_2)\)となりますから、
\((ε_1,ε_2)→(0,0)\)で\(S(ε_1,ε_2)＝6\)です。

従って、、\(y=1/\sqrt[3]x^2\)のグラフを直線\(x=±1\)と\(x軸\)で囲まれる無限に広がる簡易の面積が\(6\)
であることを示していると考えられます。

ただし、このような極限がいつも存在するとは限りません。