漸化式－数列・積分などで使われる方法、解答編

 

数列・積分に関する漸化式の解法

数列や積分に関する問題の説明を以前いたしました。難関校ではこれらは融合問題として出題されることが結構あります。数列や積分はもちろんのこと、三角関数、微分法等の縦横な理解が必要とされます。

漸化式に関する問題１

【問題１】

数列｛ａn｝が、ａ1＝\(\sqrt{2}、ａn+1＝\sqrt{ａn＋1}\)）　（n=1,2,3････）によって定められている。

（１）ａｎ＝２sinθn、０＜θn＜π/2　を満たすθnを求めてください。

（２）lim(ｎ→∞)ａn　を求めてください。（東大）

【解答１】

（１）\(ａn+2=2(sinθn+１)\)=\(2(2sin(θn/2)･cos(θn/2)\)+\(cos^2(θn/2)\)+\(sin^2(θn/2))\)=\(2(cos(θn/2)+sin(θn/2))^2\)＝\((2sin(θn/2+π/4))^2\)　　　　よって、ａn+1＝2sinθn+1=√(2+an)=ｌ2sin(θn/2+π/4)ｌとなります。ここで、0<θn<π/2より、π/4<θn/2+π/4<π/2　です。

従って、θn+1＝θn/2+π/4･･････①となります。a1＝√2=2sinθ1からθ1＝π/4、①の漸化式から、\(θn－π/2\)=\((1/2)^{n+1}(θ1－π/2)\)=\(-(π/2)(1/2)^n\)、従って、\(θn＝π/2(1-1/2^n)\) となります。（答）

（２）(1)より、lim(n→∞)an=2sin(limθn)=2sin(π/2)＝２となります。

挟み撃ちでも極限値は求めることができます。

漸化式に関する問題２

関数ｆ(ｘ）＝sinｘに対して、ｆ'(ｘ)＝ｆ(x)、

\(ｆ^n(ｘ）＝ｄｆ^n(ｘ)/ｄｘ\)により定めるものとします。任意の自然数ｎについて、2つの関数　\(ｙ＝ｘ・ｆ^n-1(ｘ\)）、\(ｙ＝ｆ^n(ｘ)\)のグラフを、Ｃ１、Ｃ２とします。ＰがＣ１、Ｃ２の交点であれば、ＰにおけるＣ１、Ｃ２の接線は、互いに直行する事を示してください。　　（京大）

【解答２】各記号は、ｎ次、n-1次の微分です。

\(f(x)^(n-1)(x)＝g(x)\)とおくと、C1：\(y=xｆ^(n-1)(x)\), C2:\(y=ｆ(x)^n(x)=g'(x)\)となります。C1とC2の交点Pのx座標をとすると、Pでは、t･g(t)=g'(t)････①です。2つの接点のx座標t1、t2における接線の傾きを、k1、k2とすれば、　 k1･k2＝{g(t)+tg(t)}g”(t)＝\({g(t)+t^2g(t)}g”(t)\)･････②　となります。また、\(g(t)＝ｆ^(n-1)(x)\)は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g(x)＝±sinxのときは、g'(x)＝±cosx、g’’(x)＝+sinx,-sinｘ　　　　　　　　　　　　　　　　g(x)＝cosx,-cosｘのときは、g'(x)＝-sinx,+sinx、g”(x)＝-cosx、+cosx　　　　　となります。どの場合もg”(x)＝-g(x),\{(g(x)}^2+{g”x)}^2＝1　となります。よって、m1･m2＝-{(g(t))^2+(tg(t))^2}＝-{g(t)^2+(g'(t))^2}＝-1です。従って、t1⊥t2　となります。

漸化式に関する問題３

\(ｘｎ＝\int_{0}^{π/2}sin^nθ･ｄθ\)　（n＝1,2,3･･････）とします。

（１）ｘｎの漸化式を求めてください。

（２）ｎｘｎ・ｘn+1を求めてください。

（３）ｘｎは　減少数列である事を示し, \(lim(n→∞)ｎ･ｘn^2\) を求めてください。　　　　　　　　　　　　　　　　　（東京医科歯科大）

【解答３】

与えられた式は、Wallisの公式です。部分積分で容易に漸化式を求めることができます。

xn＝(n-1)/n･xn-1　となります。あとは、計算ですからやってみてください。