漸化式について－数列や積分などで使われる方法－

漸化式について

一般的に、数学で最初に学ぶ漸化式は、数列に関する漸化式です。数列の漸化式には、パターンがありますから、この解法を確実に身につけることが大切です。数列の漸化式では、２項間の漸化式、３項間の漸化式、２項間の数列　ａn+1－ａn＝ｆ(ｎ）のようなｎの関数になるものもあります。また、階差数列も、相隣り合う2項の差を考えますので、１種の漸化式と言えるかもしれません。

２項間の漸化式

２項間の漸化式は、ａ1＝a、ａn+1＝ｐ･ａn＋ｑ･･･････①　で表されるものです。この式は、ｐを公比とする等比数列と考えられます。そこで、①をａn+1－α＝ｐ(ａn－α）･･････②とおき、α(１－ｐ)＝ｑ　となります。従って　ｐ≠１ならば、α＝ｑ/(１－ｐ）となります。よって、②よりａn－ｑ/(１－ｐ）＝ｐ^(n-1)｛(ａ－ｑ/(１－ｐ）}です。従って、ａn＝ｑ/(１－ｐ）＋ｐ^(n-1)｛(ａ－ｑ/(１－ｐ）}となります。また、ｐ＝１なら、①は公比ｑの等差数列となりますから、一般項は容易です。αを導出するのに、ｘ＝ｐｘ+ｑを解けばいい事になります。このｘの式を特性方程式といいます。

３項間の漸化式

既にフィボナッチの数列を示しましたが、一般的な漸化式の解法を示しておきましょう。

ａn+2＝ｐ・ａn+1＋ｑ・ａn･････････③

２項間の漸化式と同様に、③を

ａn+2－α･ａn+1＝β（ａn+1－αａn）･･････③’　とおきます。この式は③と同値ですから、

α＋β＝ｐ･･････④　αβ＝ｑ･･･････⑤　が成り立つことになります。④、⑤より、α、βは、\(ｔ^2－ｐｔ＋ｑ＝０\)･･････⑥　の解です。よって、③’から初項　ａ2－α・ａ1　で、公比βの等比数列となります。ただし、⑥が重解をもつ場合は、別途考えなければなりません。

ａn+1－ａn＝ｆ(n)　の場合の漸化式

この場合は、Σｆ(ｎ）（ｎ＝１～n）が計算できれば、ａnを求めるのは容易です。

微積分、定積分に関する漸化式

有名なのは、Wallisの公式です。

\(Ｉn＝∫(0､π/２)sin^nθ・ｄθ＝∫(0､π/２)cos^nθ・ｄθ\)　は部分積分を使えば、ｎの偶数、奇数で簡単な式が求められます。

積分に関する漸化式は、ほとんど部分積分を2回程度やれば、求めることが出来ます。

漸化式の例

\(In＝∫ｘ^n・ｅ^2x・ｄｘ\)の漸化式を求めなさい。

【解答】\(Ｉn＝1/2∫(ｅ^2x)・ｘ^nｄｘ＝1/2ｘ^n･ｅ^2x－n/2・In-1\)

よって、\(Iｎ＝1/2（ｘ^n－ｎIn-1）\)

漸化式に関する問題

【問題１】

数列｛ａn｝が、ａ1＝√2、ａn+1＝√(ａn＋２）　（n=1,2,3････）によって定められている。

（１）ａｎ＝２sinθn、０＜θn＜π/2　を満たすθnを求めてください。

（２）lim(ｎ→∞)ａn　を求めてください。（東大）

【問題２】

関数ｆ(ｘ）＝sinｘに対して、\(ｆ^{0}(ｘ)\)＝ｆ(x)、

\(ｆ^{n}(ｘ）＝ｄｆ^{n}(ｘ)/ｄｘ\)により定めるものとします。任意の自然数ｎについて、2つの関数　\(ｙ＝ｘ・ｆ^{n-1}(ｘ\)）、\(ｙ＝ｆ^{n}(ｘ）\)のグラフを、Ｃ１、Ｃ２とします。ＰがＣ１、Ｃ２の交点であれば、ＰにおけるＣ１、Ｃ２の接線は、互いに直行する事を示してください。　　（京大）

【問題３】

\(ｘｎ＝∫(0,π/2)sin^nθ・ｄθ\)　（n＝1,2,3･･････）とします。

（１）ｘｎの漸化式を求めてください。

（２）ｎｘｎ・ｘn+1を求めてください。

（３）ｘｎは　減少数列である事を示し, \(lim(n→∞)ｎ･ｘn^2\) を求めてください。　　　　　　　　　　　　　　　　　（東京医科歯科大）