極限値について－解答編－

極限値について

極限値の基本と問題を提示いたしました。そこであげた問題の解答です。
関連する講義と問題は、ここにあります。極限値について－曲線の接線や導関数－

極限値に関する問題

【問題１】
実数a,bに対して、連続関数f(x)が、\( \lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)\)=a, \( \lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-2)\)=b を満たしているとします。
このとき、ab＞0の場合、1≦ｘ≦2　の範囲で f(x)=0 は少なくとも3つの解を持つことを証明してください。

【解答1】
f(x)は、連続関数ですから、f(1)＝\( \lim_{\ x \to 1} f(x)\)=\( \lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)\)(x-1)=a･0＝0、同様にf(2)＝0　となります。よって、これらと条件式から、f'(1)＝\( \lim_{\ x \to 1}( f(x)-f(1))/(x-1)\)=a　となります。同様にして,f'(2)＝ｂとなります。ここで、g(x)＝\(f(x)/(x-1)-f(x)/(x-2)\) とおくと、
\( \lim_{\ x \to 1} g(x)\)=\( \lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-1)\)-\( \lim_{\ x \to 1} f(x)/(x-2)\)=a-0=a となります。同様に\( \lim_{\ x \to 2} g(x)\)=\( \lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-1)\)-\( \lim_{\ x \to 2} f(x)/(x-2)\)=-b です。
よって、\( \lim_{\ x \to 1} g(x)\)･\( \lim_{\ x \to 2} g(x)\)=-ab＜0
また、\(g(x)＝-f(x)/((x-1)(x-2)）\)は、1＜ｘ＜2で連続ですから、中間値の定理から　g(x)=0すなわちf(x)＝0を満たす1＜ｘ＜２の実数ｘが存在します。これと、f(1)=0、f(2)=0から、題意は成り立ちます。

【問題２】
a＞0,b＞0のとき、\( \lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)\) を求めてください。
【解答２】
a≧ｂ＞0のときは、\(a^n+b^n≦2a^n\)　より、\(a＜\sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)\)＜\(\sqrt[1/n]2･a→a\)（n→∞）
また、b≧a＞0のときは、同様にして、ｂに収束します。従って、\( \lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)\)＝max{a,b}です。よって、
\( \lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/2)\)＝\( \lim_{\ x \to\infty } \sqrt[1/n]((a^n+ｂ^n)/\sqrt[1/n]2\)=max{a,b} となります。

【問題３】
lim(n→∞)\(\sqrt[1/n]{1+1/2+1/3+\cdots+1/n}\)　を求めてください。
【解答３】
１＜\(\sqrt[1/n]{1}\)＜\(\sqrt[1/n]{1+1/2+\cdots+1/n}\)=exp{1/n･(1+1/2+･･+1/n)｝＜exp｛logn/ｎ｝→１（ｎ→∞）

Follow me!