楕円積分－楕円の曲線の長さを求める－

楕円の周の長さを求める

楕円の方程式を媒介変数表示して、$x=ａcosθ、y=ｂsinθ　（a>b)$　とします。また、楕円の離心率をｅとすると、$ｅ＝\sqrt{ａ^2－ｂ^2}/a$　となります。このとき、楕円の周の長さを計算すると、第１象限の長さを４倍すればよいですから、　　　$ｓ＝4\displaystyle \int_{ 0 }^{ π/2 }\sqrt{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2} dθ$=$4a\displaystyle \int_{ 0}^{ π/2}\sqrt{(1－ｅ^2sin^2 θ)} ･dθ$　となります。

楕円積分

ここで、$\displaystyle \int_{ 0}^{ π/2}\sqrt{(1－ｅ^2sin^2 θ)} dθ$　は既知の初等関数であらわすことが出来ないことがわかっており、これを楕円積分と言います。
楕円積分には、何種類かのタイプがあり、定義されていますが、このような楕円積分は、フェルマーの定理の証明にもちいられた楕円曲線に関連しており、谷山・志村の定理が知られています。一般に、曲線の長さの計算では、積分が既知の初等関数で表し得ないことが多いようですが、近似計算は可能です。

楕円積分の近似計算

上の楕円について考えてみましょう。離心率ｅが十分に0に近いときは、楕円は十分に円に近い事となり、$\sqrt{(1－ｅ^2sin^2 θ)} ≒1－ｅ^2/2･sin^2θ$　となりますから、$ｓ＝４ａ\displaystyle \int_{ 0}^{ π/2}\sqrt{(1－ｅ^2sin^2 θ)} dθ$＝４ａ$\displaystyle \int_{ 0}^{ π/2}{(1－ｅ^2･sin^2θ/2)} dθ$＝４ａ$\displaystyle \int_{ 0}^{ π/2}{(1－ｅ^2･(１－cosθ)/4))} dθ$＝$２πａ(１－ｅ^2/4)$ となります。

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