最大・最小の問題－いろいろな最大・最小問題－

最大・最小問題

最大・最小問題は、様々な単元で見受けられます。数学の問題全体で取り扱われる問題のように思います。相乗相加平均を使ったり、シュワルツの不等式を使ったり、方程式論を使ったり、微分法を使ったりと様々なところで、最大・最小問題は表れます。

最大・最小問題は、その問題に使う手法をどうするのか、問題をしっかり読んで、解法の道筋を考えなければなりません。式変形をする場合でも、どの方法を使うかで、解法の稚拙が表れますので、最短距離で解答にたどり着ける方法は何なのかを常に考えるようにしてください。以下に最大・最小問題をあげておきます。また、次のリンクにに問題の解答編が有ります。最大・最小の問題－解答編－

最大・最小の問題

【問題１】

実数\(a,b,c\)が、\(a+b+c=ａ^2+ｂ^2+ｃ^2＝１\)　とします。
このとき、ｃのとりうる値の範囲を求めてください。

【問題2】

実数ｘ、ｙが\(ｘ^2+ｙ^2－2ｘｙ－4ｘ－4ｙ+6＝０\)　を満たすとき、
\(ｘ+ｙ、ｘｙ\)の最小値をそれぞれ求めてください。

【問題３】

角　\(α、β、γが、α+β+γ＝π、α≧0、β≧0、γ≧0\)を満たすとき、
\(cosα+cosβ+cosγ\)の最小値を求めてください。（京都大）

【問題４】

頂点がｚ軸上にあり、底面がｘｙ平面上の原点を中心とする円である円錐とします。この円錐の側面が、原点を中心とする半径１の球に接しているとします。このとき
円錐の体積の最小値を求めてください。（一橋大）

【問題５】

３辺の長さが、\(a,b,c\)の直方体があるとします。長さがｂの辺を1辺とする回転軸として90°回転させるとき、この直方体が通過する領域をVとします。
(1)Vの体積を求めてください。
(2)\(a+b+c＝1のとき、V\)の体積のとりうる値の範囲を求めてください。
(東大）